27993 - ANALISI MATEMATICA T-2

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza metodologica ed operativa degli aspetti istituzionali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili.

Contenuti

Sono prerequisiti essenziali del corso la conoscenza di tutti gli argomenti svolti nel corso di Analisi Matematica T-1, nonchè di numerosi argomenti svolti nel corso di Geometria e Algebra T (spazi vettoriali, trasformazioni lineari, matrici, determinanti, geometria analitica nel piano e nello spazio).

1. Equazioni differenziali. Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi differenziali. Teoremi di esistenza, unicità e prolungabilità. Metodi risolutivi per equazioni non-lineari a variabili separabili e per equazioni lineari del primo ordine. Spazio delle soluzioni di una equazione differenziale lineare omogenea e non omogena di ordine n. Risoluzione di equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee con metodo di somiglianza.
   
2. Lo spazio euclideo n-dimensionale. La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Elementi di topologia.
3. Limiti, continuità e calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali. Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali: generalità. Definizione di limite e di funzione continua. I teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi per funzioni di più variabili. Definizione di derivata parziale e di derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C^1; il differenziale e la matrice jacobiana. Il teorema sulla differenziabiltà di una funzione composta. Derivate parziali di ordine superiore. Formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di più variabili. Estremanti relativi per funzioni reali di più variabili reali liberi.
4. Integrali multipli. Definizione di integrale doppio di Riemann su insiemi limitati e misurabili. Proprietà dell'integrale doppio. I teoremi di riduzione su rettangoli e su insiemi semplici. Il teorema di cambiamento di variabili. Integrali tripli: estensione delle definizioni e dei teoremi sugli integrali doppi. Cenni sugli integrali doppi generalizzati.
5. Integrali curvilinei e di superficie. Curve regolari e regolari a tratti, lunghezza di una curva, integrale di una funzione su una curva. L'integrale di un campo vettoriale su una curva orientata. Campi vettoriali conservativi e loro potenziali. Il teorema di Green-Gauss. Superficie regolari e regolari a tratti in R^3, area di una superficie, integrale di una funzione su di una superficie. Flusso di un campo vettoriale attarverso una superficie orientata. I teoremi della divergenza e di Stokes. Campi solenoidali e potenziale vettore.

 

Testi/Bibliografia

Teoria:

• M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 2. Secondo corso di Analisi Matematica, ed. McGraw-Hill Education (2024).
• G. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht, Elementi di Analisi Matematica Vol. 2, ed. Zanichelli (2015).
  

Esercizi:

• M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, ed. Esculapio (2012).

Metodi didattici

Lezioni frontali volte a illustrare i concetti fondamentali, esempi e controesempi.

Svolgimento di esercizi da parte dei docenti per una migliore comprensione delle nozioni di base.

Proposta di esercizi supplementari da usare come traccia per lo studio individuale.

Ricevimento studenti settimanale, eventualmente su appuntamento a richiesta.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame finale del corso consiste in una prova scritta e in una prova orale, entrambe obbligatorie e da sostenere nell'ordine.

La prova scritta mira a verificare la capacità di applicare la teoria alla risoluzione di esercizi del tipo di quelli proposti durante il corso. Vanno riportati e motivati i passaggi. Non è ammesso l'uso di libri, appunti o calcolatrici; solo carta e penna. Dura 2 ore e 30 minuti.

La valutazione della prova scritta è espressa in trentesimi e la prova è da intendersi superata con voto maggiore o uguale a 18/30.

Se la prova scritta è superata, si può accedere alla prova orale. Questa mira a verificare la conoscenza e la comprensione della teoria sviluppata durante il corso. Verrà chiesto di dare definizioni ed esempi dei concetti e di dare enunciati e dimostrazioni di teoremi.  

La prova orale è da sostenersi all'interno dello stesso appello della prova scritta superata. Il respingimento o l'assenza all'orale determinano la decadenza della validità del punteggio ottenuto allo scritto.

Ci saranno 6 appelli (ognuno dei quali avrà sia scritto che orale): 4 nella sessione estiva (giugno, luglio e settembre) e 2 nella sessione invernale (gennaio e febbraio).

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato (da definirsi) e ricevimento studenti.

Ulteriore materiale didattico sarà reso disponibile alla pagina Virtuale del corso.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Nicola Abatangelo

Consulta il sito web di Eugenio Vecchi