31586 - COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA ED ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ T

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza di base relativa al calcolo di funzioni di più variabile reali (proprietà, massimi e minimi) curve, potenziali, integrali multipli, loro significato, soluzione di alcuni tipi semplici di equazioni differenziali. Inoltre verranno affrontate le nozioni elementari di probabilità, con particolare riferimento ad alcune distribuzioni nel continuo (distribuzioni uniforme e normale).

Contenuti

• Numeri complessi: Introduzione, forma algebrica e trigonometrica, piano di Gauss, formula di De Moivre, radici n-esime di un numero complesso.

• Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:
  • Introduzione Elementi di topologia in R^n. Funzioni da R^n in R^m (n,m=1,2,3). Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.
  • Funzioni in più variabili a valori reali Derivate parziali e derivate direzionali per funzioni in più variabili a valori reali. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Hessiano. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente.
  • Calcolo differenziale per funzioni in più variabili a valori vettoriali. Jacobiano. Composizione di funzioni: teorema dello Jacobiano della funzione composta.
• Applicazioni del calcolo differenziale:
  • Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie o sufficienti per funzioni C^2.
  • Massimi e minimi vincolati: funzione Lagrangiana, condizioni necessarie perché un punto sia estremante vincolato con vincolo uno o due dimensionale nello spazio
    
• Misura e integrazione per funzioni in più variabili Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teorema della media. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini normali. Principio di Cavalieri. Teorema di Cavalieri. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.

• Equazioni differenziali ordinarie lineari del I e II ordine
  • equazione del I ordine: equazione omogenea associata, integrale generale e formula risolutiva, problema di Cauchy per un'equazione del I ordine.
    
  • equazione del II ordine a coefficienti costanti: equazione omogenea associata, integrale generale dell'omogenea associata, esistenza e unicità del problema di Cauchy, soluzione particolare metodo di Lagrange e per simpatia, wronskiano e sue proprietà.
    

• Elementi di Calcolo delle Probabilità (30h)

  1. Spazi di probabilità
     Misura di probabilità; probabilità condizionata e indipendenza, formula delle probabilità totali, formula di Bayes; calcolo combinatorio.
  2. Modelli discreti
     Variabili aleatorie discrete e principali distribuzioni: di Bernoulli, binomiale, geometrica, di Poisson; funzione di ripartizione; valore atteso; varianza.
  3. Modelli continui
     Variabili aleatorie assolutamente continue; densità e funzione di ripartizione; valore atteso; varianza. Esempi: variabili aleatorie uniformi, normali ed esponenziali.
  
  

Testi/Bibliografia

 

Robert A. Adams: Calcolo differenziale 2 - Casa Editrice Ambrosiana distribuzione Zanichelli 2014

 

Introduzione alla probabilità - con elementi di statistica, 2a edizione
Autore: Paolo Baldi
Editore: McGrawHill
Anno edizione: 2012

Metodi didattici

 

Lezioni ed esercitazioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame si svolge in forma scritta e consta di due parti da sostenere nello stesso appello.

Nella prima parte lo studente risolve alcuni esercizi a risposta aperta e altri da consegnare con svolgimento. La prova ha la durata di 2 ore. 

Nella seconda parte lo studente svolge per esteso due quesiti riguardanti argomenti di teoria. La prova ha la durata di un'ora.  

E' proibito l'uso di qualunque dispositivo elettronico collegato alla rete internet durante la prova d'esame pena l'annullamento della prova d'esame stessa.

Il punteggio della prima prova è in trentesimi. Si è ammessi all'orale con 15/30. Il voti delle due prove concorrono a costituire il voto finale.  

Gli studenti possono presentarsi a tutti gli appelli.

Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami.

E' obbligatoria l'iscrizione su Almaesami ad entrambe le parti dell'esame.

Modalità di verifica dell'apprendimento

 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Grammatico Cataldo [https://www.unibo.it/sitoweb/cataldo.grammatico]

Strumenti a supporto della didattica

Su virtuale sono altresì pubblicati alcuni testi tipo d'esame relative alla parte di Analisi Matematica.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Cataldo Grammatico

Consulta il sito web di Giovanna Citti