29690 - MECCANICA RAZIONALE T

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, e dopo aver superato la prova di verifica finale, lo studente possiede le conoscenze fondamentali sulla modellizzazione fisico-matematica rigorosa dei sistemi meccanici partendo dalla meccanica newtoniana e giungendo allo schema lagrangiano-hamiltoniano della meccanica analitica. In particolare ha acquisito la capacità di costruire, confrontare ed utilizzare modelli matematici per sistemi meccanici con pochi gradi di libertà (quali punto materiale, corpo rigido, sistemi olonomi), di determinarne le proprietà di comportamento più rilevanti (sia in condizioni statiche che dinamiche) e di ricavarne corrette approssimazioni locali (linearizzazione).

Contenuti

Programma/Contenuti del corso

Richiami di calcolo vettoriale e matriciale
Vettori liberi - Componente cartesiana di un vettore - Prodotto di uno scalare per un vettore - Somma di vettori - Prodotto scalare, vettoriale e misto - Doppio prodotto vettoriale.
Vettori applicati - Risultante di un sistema di vettori - Momento polare, momento assiale - Asse centrale - Coppie - Operazioni elementari -Riduzione di un sistema di vettori applicati - Sistemi piani di vettori - Sistemi di vettori paralleli.
Operatori matriciali – Matrici simmetriche e antisimmetriche - Matrici di rotazione – Autovalori ed autovettori - Matrici definite di segno.
Elementi di geometria differenziale delle curve – Vettori funzione - Versore tangente, normale principale, binormale – Curvatura, triedro di Frenet.

Cinematica del punto
Velocità, accelerazione e loro proprietà - Spostamenti elementari ed effettivi .

Cinematica dei sistemi rigidi
Moto rigido - Equazioni cartesiane di un moto rigido - Angoli di Eulero - Formule di Poisson - Velocità angolare - Legge di distribuzione delle velocità, delle accelerazioni e degli spostamenti elementari - Classificazione e proprietà caratteristiche dei moti rigidi - Atti di moto - Teorema di Mozzi.

Cinematica relativa
Teorema di addizione delle velocità - Teorema di derivazione relativa - Teorema di Coriolis – Teorema di addizione delle velocità angolari - Mutuo rotolamento di due superfici rigide - Traiettorie polari nei moti rigidi piani.

Cinematica dei sistemi vincolati
Vincoli e loro classificazione - Rappresentazione analitica – Sistemi olonomi - Spostamenti possibili e virtuali.

Geometria delle masse
Concetto di massa - Baricentro di un sistema particellare e continuo - Teoremi di ubicazione del baricentro - Definizione di momento d'inerzia - Teorema di Huygens-Steiner - Momento di inerzia rispetto ad assi concorrenti - Matrice d'inerzia - Giroscopi.

Cinematica delle masse
Quantità di moto - Momento della quantità di moto - Energia cinetica - Teorema del baricentro e teoremi di Koenig.

Forze, Lavoro ed Energia
Modelli e classificazione delle forze - Definizione di lavoro elementare ed effettivo - Lavoro lungo un cammino finito per forze generali e forze posizionali non conservative - Forze conservative – Potenziale ed energia potenziale - Sistemi di forze e lavoro di un sistema di forze - Lavoro virtuale nel caso di corpi rigidi e di sistemi olonomi.

Richiami sui principi della meccanica
Principio di inerzia - Principio di proporzionalità tra forza e accelerazione - Principio di azione e reazione - Principio del parallelogramma delle forze - Postulato delle reazioni vincolari - Principio di relatività galileiana.

Statica del punto
Equilibrio di un punto materiale - Equazioni di un punto vincolato su una superficie.

Statica del corpo rigido
Equazioni cardinali della statica. Problema del corpo rigido pesante appoggiato su un piano orizzontale liscio – Cenni sull'equilibrio di travi e fili.

Statica dei sistemi olonomi
Vincoli ideali - Principio dei lavori virtuali - Stabilità dell'equilibrio - Equilibrio di un sistema olonomo.

Dinamica del punto
Problemi analitici della dinamica del punto - Integrali primi delle equazioni di moto - Oscillatori armonici, smorzati, forzati - Risonanza - Pendolo semplice.

Dinamica dei corpi rigidi
Equazioni cardinali della dinamica – Equazioni di Eulero - Moti alla Poinsot - Moto di un corpo rigido con un asse fisso ed equilibratura dinamica.

Elementi di meccanica analitica
Principio di d'Alembert – Genesi delle equazioni di Lagrange – Equazioni di Lagrange per sistemi conservativi - Piccole oscillazioni nell'intorno di una posizione di equilibrio stabile.

Testi/Bibliografia

Teoria

• P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Meccanica Razionale, Springer.

Esercizi

• F. Brini, A. Muracchini, T. Ruggeri, L. Seccia, Esercizi e Temi d'Esame di Meccanica Razionale, Ed. Esculapio Bologna (2019).

Esercizi per casa e prove d'esame degli anni passati saranno resi disponibili durante il corso nel sito del materiale didattico della docente.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi a cinematica, statica, dinamica e meccanica analitica. La teoria è sempre accompagnata da esempi e dalla descrizione di applicazioni pratiche. Vengono inoltre svolti numerosi esercizi in aula e corretti gli esercizi assegnati per casa, per questo motivo la frequenza a lezione è di aiuto alla preparazione dell'esame.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell’apprendimento avviene attraverso un esame, che accerta l’acquisizione delle conoscenze e delle abilità attese tramite lo svolgimento di una prova scritta e di una prova orale.

La prova scritta della durata di 60 minuti viene svolta con l’aiuto di libri e appunti e consiste di norma di due esercizi, ognuno dei quali contiene due quesiti. Il voto della prova scritta può essere A, B, C, D, F. Per essere ammessi a sostenere la prova orale è necessario ottenere nella prova scritta almeno D. Per partecipare alla prova scritta è obbligatorio iscriversi su Almaesami.

La prova orale consiste in un approfondimento orale, con la docente, volto ad accertare le conoscenze teoriche e la padronanza degli argomenti del corso.

Il superamento dell’esame sarà garantito agli studenti/alle studentesse che dimostreranno padronanza e capacità operativa in relazione ai concetti chiave illustrati nell’insegnamento. Un punteggio più elevato sarà attribuito a color che dimostreranno di aver compreso ed essere capaci di utilizzare tutti i contenuti dell’insegnamento, illustrandoli con padronanza di linguaggio, risolvendo problemi anche complessi e mostrando buona capacità operativa. Il mancato superamento dell’esame potrà essere dovuto all’insufficiente conoscenza dei concetti chiave, alla mancata padronanza del linguaggio tecnico, alla insufficiente capacità operativa.

Strumenti a supporto della didattica

Dispense su alcuni argomenti ed esercitazioni in rete.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Francesca Brini