09757 - GEOMETRIA E ALGEBRA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le conoscenze di base del calcolo matriciale e vettoriale. In particolare lo studente è in grado di: calcolare determinanti, matrici inverse e risolvere sistemi lineari, calcolare autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi e matrici.

Contenuti

1. Richiami sugli insiemi. Applicazioni; applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche; composizione di applicazioni, applicazione inversa. Numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi. Spazi vettoriali e loro sottospazi. Esempi: n-ple di elementi di un campo, polinomi a coefficienti in un campo, funzioni a valori in un campo. Controesempi: curve, reticoli, coni, unione di sottospazi. L'intersezione di sottospazi e' un sottospazio.

2. Combinazioni lineari, sottospazio generato da un insieme di vettori. Insiemi generatori e insiemi linearmente indipendenti. Basi. Un insieme di vettori e' una base se e solo se ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei suoi elementi. Coordinate di un vettore in una base data. Completare a una base, estrarre una base.

3. Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione). Dimensione. Basi canoniche per i seguenti spazi vettoriali: n-ple di elementi di un campo, polinomi a coefficienti in un campo, funzioni su un insieme finito a valori in un campo). Somma di sottospazi, somma diretta, formula di Grassman (senza dimostrazione). Due modi di descrivere un sottospazio vettoriale: forma parametrica e forma cartesiana; legami con la dimensione.

4. Applicazioni lineari; esempi. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi dati. La composizione di applicazioni lineari è lineare, l'inversa di un'applicazione lineare è lineare. Nucleo e immagine di una applicazione lineare; il nucleo e l'immagine sono sottospazi. Legame con l'iniettività e la suriettività; isomorfismi. Teorema del rango. 

5. Esiste una e una sola applicazione lineare che prende valori dati su una base data. Matrice di un'applicazione lineare in basi date; isomorfismi tra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali dati e lo spazio vettoriale delle matrici m x n. La matrice della composizione di due applicazioni è il "prodotto riga per colonna" delle due matrici corrispondenti (dimostrazione solo nel caso 2x2). Una applicazione lineare è un isomorfismo se e solo se manda basi in basi. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione n su un campo K sono isomorfi a K^n.

6. Matrice identità, matrici invertibili. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se i suoi vettori colonna sono linearmente indipendenti; rango di una matrice. Cambiamenti di base. Similitudine; due matrici sono simili se e solo se rappresentano la stessa applicazione lineare. Determinante di una matrice quadrata: definizione ricorsiva e sue proprietà (senza dimostrazione). Formula per la matrice inversa di una matrice data. Matrici quadrate che rappresentano la stessa applicazione lineare in basi diverse hanno lo stesso determinante; determinante di una applicazione lineare.

7. Soluzione di sistemi n×n mediante inversione della matrice dei coefficienti ("metodo di Cramer"). L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale. Sottospazi affini, loro rappresentazioni parametrica e cartesiana. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare, se non è vuoto, è un sottospazio affine di dimensione n-rk A. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Applicazioni alla geometria: rette e piani passanti per punti dati; intersezioni di rette e di piani; parallelismo. Esempi ed esercizi.

8. Matrici diagonali e loro proprieta'. Autovalori e autovettori di una applicazione lineare. Polinomio caratteristico; esempi di applicazioni lineari che non hanno autovalori nel campo razionale o nel campo reale. Autospazi. Basi di autovettori. Molteplicita' algebrica e geometrica. Una applicazione e' diagonalizzabile su un campo dato se e solo se tutti gli autovalori appartengono al campo e la molteplicita' algebrica di ciascun autovalore e' uguale alla sua molteplicita' geometrica. Applicazioni nilpotenti; una applicazione lineare nilpotente non nulla non e' diagonalizzabile. Cenni alla forma canonica di Jordan (senza dimostrazione). Esempio: la derivazione di polinomi.

9. Forme bilineari. Biezione tra forme bilineari e matrici (in una base data). Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche, matrici simmetriche e antisimmetriche. Congruenza tra matrici; due matrici sono congruenti se e solo se rappresentano la stessa forma bilineare. Diagonalizzazione di forme bilineari. Per ogni forma bilineare simmetrica esiste una base diagonalizzante (ovvero ogni matrice simmetrica è congruente ad una matrice diagonale).

10 Forma canonica di una forma bilineare reale; segnatura. La segnatura non dipende dalla base scelta (senza dimostrazione). Forma canonica di una forma bilineare complessa; rango. Forme quadratiche. Corrispondenza tra forme quadratiche e forme bilineari simmetriche. Forme quadratiche reali definite positive e negative, semidefinite positive e negative, indefinite; loro segnatura.

11 Prodotti scalari. Esempi: prodotto scalare standard di n-ple di elementi di un campo, prodotto scalare standard di funzioni (a valori un campo) su un insieme finito, integrale del prodotto di funzioni continue su intervallo chiuso e limitato. Norma di un vettore. Disuguaglianza di Cauchy-Schwatz. Angolo convesso tra due vettori. Proprieta' della norma. Proprietà che deve soddisfare una funzione su un insieme per essere detta una "distanza"; esempi di distanze che non sono indotte da un prodotto scalare. Distanza euclidea indotta da un prodotto scalare e sue proprieta'. Insiemi di vettori ortogonali e ortonormali. Un insieme ortogonale di vettori e' linearmente indipendente.  Esistenza di basi ortonormali. Matrici ortogonali. Una base e' ortonormale se e solo se la matrice del cambiamento di base, rispetto ad una base ortonormale data, e' ortogonale. Il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto scalare standard delle loro coordinate rispetto ad una base ortonormale. Sottospazio vettoriale ortogonale a un sottospazio dato. Sottospazio affine ortogonale ad un sottospazio dato e passante per punti dati. 

12 Isometrie di uno spazio vettoriale (rispetto ad un prodotto scalare dato). Una applicazione lineare e' una isometria se e solo se conserva la norma di ogni vettore. Ogni isometria e' un isomorfismo. Ogni isometria conserva gli angoli. Un'applicazione lineare e' una isometria se e solo se manda basi ortonormali in basi ortonormali. Un'applicazione lineare e' una isometria se e solo la sua matrice rispetto ad una qualunque base ortonormale e' ortogonale. Determinante e autovalori di una isometria. Classificazione delle isometrie in dimensione 2: rotazioni e simmetrie.

Testi/Bibliografia

Libro di testo consigliato:

A. Bernardi e A. Gimigliano, "Algebra lineare e geometria analitica", Citta'Studi edizioni,

da integrare con gli appunti del corso.

Fogli di esercizi sono disponibili sulla pagina Virtuale del corso.

Ulteriori esercizi possono essere trovati su

Anichini-Conti-Paoletti, Algebra e Lineare e Geometria analitica ESERCIZI E PROBLEMI, seconda ed, Pearson.

 

 

 

Metodi didattici

Il corso consiste di 60 ore di didattica frontale, in modalita' mista, durante le quali gli argomenti verranno presentati anche attraverso esempi, controesempi ed esercizi. Verra` spiegata agli studenti la soluzione di esercizi di vari livelli di difficolta` e verranno loro proposti esercizi da risolvere autonomamente. Verra` spiegata agli studenti la struttura di una dimostrazione attraverso alcuni teoremi di rilievo, seppure di contenuto elementare.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta ed una orale. La prova scritta e' articolata in 10 domande a risposta multipla e due esercizi. Coloro che superano la prova scritta sono ammessi a sostenere la prova orale.

Le date degli esami sono disponibili su almaesami o sul sito del corso di laurea.

Strumenti a supporto della didattica

Le lezioni del mercoledi' saranno svolte telematicamente via Teams, quelle del giovedi' in presenza a Cesena (e anche trasmesse via Teams).

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Moci