75588 - MATHEMATICAL TOOLS AND METHODS

Conoscenze e abilità da conseguire

At the end of the course, the student will have an in-depth knowledge of the mathematical concepts and techniques that are of central importance in modern economic analysis. The student will be able, in particular, to apply fruitfully tools and concepts from static optimization, dynamical systems, and dynamic optimization to a wide range of topics and models in environmental economics.

Contenuti

Il Crash Course in Mathematics tratterà i seguenti argomenti.

Equazioni e disequazioni lineari. Insiemi, numeri reali e funzioni. Funzioni ed equazioni quadratiche, funzioni potenza.

Successioni, serie e limiti. Progressioni geometriche in Economia.

Derivata delle funzioni di una variabile. Approssimazione lineare e differenziabilità. Le derivate in Economia. Regole di derivazione. Funzioni monotone. Funzioni inverse. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Derivata e tasso di crescita.

Massimi e minimi per funzioni di una variabile. Punti critici. Derivata seconda. Ottimizzazione. Convessità e concavità. Approssimazione lineare e quadratica.

Elementi di algebra lineare. Sistemi di equazioni lineari.

 

Programma / contenuti - Mathematical Tools and Methods

Calcolo differenziale in più variabili e ottimizzazione statica

Funzioni di più variabili. Funzioni lineari. Forme quadratiche. Derivate parziali. Approssimazioni lineari. La regola della catena. Un'applicazione economica: funzioni di produzione. Funzioni omogenee.

Funzioni implicite. Derivata di una funzione implicita. Statica comparata.

Ottimizzazione libera in più variabili. Punti critici. Ottimo globale, concavità e convessità.

Ottimizzazione vincolata. Moltiplicatori di Lagrange e loro significato. Applicazioni economiche. Funzioni quasi-concave. Teoremi dell'inviluppo. Vincoli di diseguaglianza e di non negatività.

Integrazione

Integrali ed aree. Integrazione e derivazione: l'integrale indefinito. Regole di integrazione. Integrazione in economia. Metodi di integrazione. Integrali infiniti. Derivazione sotto il segno di integrale.

Modelli dinamici: sistemi dinamici a tempo discreto e continuo

Equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni lineari a coefficienti costanti e a coefficienti variabili. Altri tipi di equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni alle differenze lineari. Soluzioni stazionarie.

Sistemi di ordine più elevato. Autovalori ed autovettori. Polinomio caratteristico. Equazioni differenziali e alle differenze lineari del secondo ordine. Sistemi di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze lineari.

Ulteriori elementi di analisi dinamica. Equazioni e sistemi nonlineari. Comportamento asintotico, equilibri e stabilità di sistemi autonomi. Analisi locale mediante linearizzazione. Equilibri di sella. Diagrammi di fase ed analisi qualitativa. Cicli e caos.

Applicazioni economiche dei sistemi dinamici. Aggiustamento dei prezzi, modello neoclassico di crescita, modello della ragnatela, modello del moltiplicatore-acceleratore, modello di "overshooting" di Dornbusch, evoluzione dello stock di una risorsa rinnovabile.

Ottimizzazione intertemporale

Ottimizzazione dinamica in tempo continuo. Il problema di base e le sue varianti. Il Principio del Massimo. Applicazioni all'Economia delle risorse naturali. Problemi con orizzonte infinito. Modelli di crescita economica endogena.

Ottimizzazione dinamica in tempo discreto. Il problema di base e le sue varianti. Approcci per la soluzione: Hamiltoniano, Programmazione Dinamica.

Testi/Bibliografia

Bibliografia essenziale

M. PEMBERTON, N. RAU. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook, 4th Edition. Manchester University Press, 2016 (il manuale delle soluzioni agli esercizi può essere ottenuto gratuitamente dal sito web dell'editore).

 

Un valido testo alternativo (con manuale delle soluzioni) è il seguente:

M. HOY, J. LIVERNOIS, C. McKENNA, R. REES, A. STENGOS, Mathematics for Economics, 3rd Edition, MIT Press, 2011.

M. HOY, J. LIVERNOIS, C. McKENNA, R. REES, A. STENGOS, Student Solutions Manual for Mathematics for Economics 3rd Edition, MIT Press, 2012.

Metodi didattici

Lezione frontale.

Gli esercizi e problemi presentati durante il corso sono importanti per la comprensione di tutti i punti del programma

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova scritta (obbligatoria), eventualmente seguita da prova orale (facoltativa).

La prova scritta consiste di esercizi con differenti livelli di difficoltà. L' esame scritto ha lo scopo di verificare la capacità dello studente di applicare in modo corretto ed efficace a problemi matematici e a modelli economici le tecniche di base ed avanzate apprese durante il corso.

La prova orale (che può essere sostenuta solo se il voto della prova scritta è sufficiente, cioè non inferiore a 18/30), è facoltativa. Essa va considerata come una possibile integrazione alla prova scritta, richiesta dallo studente. Come tale, la prova orale può influire positivamente o negativamente sulla votazione finale. Il tema della prova orale verrà scelto dal docente fra un certo numero di argomenti teorici ed applicazioni economiche contenute nei testi. Una lista dettagliata di argomenti ed approfondimenti per la prova orale verrà distribuita in classe.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Roberto Dieci