29690 - MECCANICA RAZIONALE T

Conoscenze e abilità da conseguire

Buona conoscenza metodologica ed operativa dei modelli matematici formulati in termini di bilancio energetico (effettivo o virtuale) per sistemi meccanici con un numero finito di variabili di stato; anche in vista dell'estensione a sistemi elettrici ed elettromeccanici.

Contenuti

Preliminari - Scopi e metodologia della Meccanica Razionale con brevi cenni storici. Richiami sui vettori e sugli operatori lineari.

Cinematica del punto - Descrizione cinematica del moto di un punto, velocità ed accelerazione e loro varie rappresentazioni, moto piano in coordinate polari. Cenno sui moti centrali.

Sistemi vincolati – Concetto di vincoli ed esempi di sistemi vincolati. Vincoli e loro classificazione, sistemi olonomi ed anolonomi, gradi di libertà, coordinate generalizzate, spazio delle configurazioni, spostamenti possibili e virtuali di un sistema olonomo, vettori velocità di un sistema olonomo.

Vettori applicati - Momento polare ed assiale di un vettore applicato, sistemi di vettori applicati, risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati, legge di distribuzione dei momenti, coppie, invariante scalare, asse centrale, sistemi equivalenti ed operazioni elementari, teoremi di riducibilità, alcuni esempi di sistemi ad invariante nullo (vettori piani, vettori paralleli), centro di un sistema di vettori applicati paralleli.

Cinematica del corpo rigido - Corpo rigido e vincolo di rigidità, riferimento solidale, velocità angolare e formule di Poisson, legge di distribuzione delle velocità, degli spostamenti e delle accelerazioni dei punti di un corpo rigido, derivata di un vettore solidale e teorema di derivazione relativa, angoli di Eulero, formule di Eulero, classificazione dei moti rigidi, punto di vista lagrangiano ed euleriano, atto di moto di un sistema rigido, classificazione degli atti di moto. Enunciato del teorema di Mozzi.

Cinematica relativa – Formulazione del problema. Teorema (di Galileo) di composizione delle velocità e teorema (di Coriolis) di composizione delle accelerazioni. Composizione di velocità angolari. Rotolamento e puro rotolamento di due curve rigide, olonomia di tale vincolo.

Moti rigidi piani - Generalità, centro istantaneo di rotazione e proprietà ad esso connesse, traiettorie polari (base e rulletta).

Geometria delle masse - Baricentro, teoremi relativi alle proprietà di ubicazionedel baricentro. Momenti di inerzia, Momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli (Teorema di Huygens-Steiner) e rispetto ad assi concorrenti, matrice di inerzia. Assi principali di inerzia e loro determinazione, ellissoide di inerzia.

Forze, lavoro, potenziale - Concetto di forza e lavoro, lavoro elementare reale e virtuale, lavoro di una forza lungo un cammino finito, forze conservative, potenziale e principali proprietà ad esse connesse, lavoro di un sistema forze, lavoro di un sistema di forze applicate ad un corpo rigido e ad un sistema olonomo.

Le leggi della meccanica – Breve introduzione storica ai principi della meccanica classica. Principio di inerzia, secondo principio della dinamica, aspetti matematici del IIº principio della dinamica, principio di azione e reazione. Terne assolute e non-inerziali, principio di relatività di Galileo, il secondo principio della dinamica in un riferimento non-inerziale, teorema delle forze vive, principio di conservazione della energia, integrali primi del moto e loro uso in ambito meccanico. Postulato delle reazioni vincolari. Equazioni cardinali della dinamica.

Statica - Definizione di quiete e di equilibrio. Attrito coulombiano, legge di Coulomb-Morin, vincoli privi di attrito, principio delle reazioni vincolari e vincoli ideali. Principio dei lavori virtuali e sua formulazione nel caso di sistemi olonomi e conservativi anche in presenza di vincoli unilaterali. Equazioni cardinali della statica con dimostrazione della loro necessità e sufficienza. Equilibrio stabile in senso statico.

Esempi di statica e dinamica del punto materiale - Moto di un grave, oscillatore armonico, moti smorzati e forzati, Dinamica del punto materiale vincolato. Moto su curve e su superfici sia liscie che in presenza di attrito, pendolo semplice, forza peso come forza non-inerziale. Equilibrio di un punto su curve e superfici sia liscie che in presenza di attrito. Cenni sulla statica relativa di un punto.

Cinematica delle masse - Quantità di moto, momento della quantità di moto, energia cinetica, teorema del moto del baricentro, moto relativo al baricentro, primo e secondo teorema di König. Rappresentazione della quantità di moto, momento della quantità di moto ed energia cinetica di un corpo rigido, struttura della energia cinetica per un sistema olonomo.

Meccanica lagrangiana - Disuguaglianza variazionale della dinamica, principio di D’Alembert, equazioni di Lagrange, caso delle forze conservative (funzione lagrangiana), integrali primi del moto, coordinate cicliche.

Stabilità e piccole oscillazioni – Formulazione del problema. Studio del potenziale nelle configurazioni di equilibrio. Piccole oscillazioni di un sistema conservativo ad n gradi di libertà, frequenze caratteristiche di oscillazione.

Testi/Bibliografia

P.BISCARI, T. RUGGERI, G. SACCOMANDI, M. VIANELLO, Meccanica razionale per l'ingegneria. Ed. Springer-Milano;

A. MURACCHINI, T. RUGGERI, L. SECCIA, Esercizi e temi d'esame di Meccanica razionale. Ed. Esculapio-Bologna.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame è articolata in due fasi: una prova scritta (tempo assegnato per la soluzione: 2 ore) e una prova orale. Si accede alla prova orale solo se risulta superata la prova scritta. Nel caso che lo studente non superi la prova scritta la può ripetere nella stessa sessione d'esame. La prova scritta verte su un problema riguardante un sistema olonomo ad 1 o 2 gradi di libertà di cui, solitamente, si chiede di esaminare equilibrio, stabilità e proprietà generali del moto. La valutazione della prova scritta consiste in un giudizio (in ordine crescente: Gravemente insufficiente, Insufficiente, Quasi sufficiente, Sufficiente).

La prova orale consiste nel rispondere, in forma scritta, a due domande di teoria (tempo assegnato 30 minuti). L'elaborato viene poi brevemente discusso insieme al docente. Al termine di questa prova si decide la valutazione finale che, ovviamente, tiene conto sia del risultato della prova scritta che di quella orale.

Testi delle prove scritte più recenti si possono trovare in questa stesso sito nella sezione "materiale didattico" in coda al programma del corso.

Strumenti a supporto della didattica

Si forniscono indirizzi di siti internet in cui lo studente può approfondire alcuni degli argomenti svolti a lezione. Nella pagina web del docente (http://www.dm.unibo.it/~muracchi/) si possono trovare appunti delle lezioni, i testi delle prove scritte d'esame ed altri ausili didattici.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Augusto Muracchini