46146 - ANALISI NON LINEARE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce: - la teoria delle soluzioni viscose delle equazioni ellittiche e le teorie del grado di Brouwer e del grado di Leray-Schauder; - è in grado di studiare la regolarità delle soluzioni viscose di equazioni alle derivate parziali non lineari (fully nonlinear) uniformemente ellittiche, con particolare riferimento al caso di operatori convessi, e di applicare la teoria del grado a problemi analitici e geometrici ed in particolare a problemi di punto fisso e allo studio delle equazioni differenziali non lineari.

Contenuti

Il corso è suddiviso in due moduli tenuti  dal prof. Fausto Ferrari e dal  prof. Francesco Uguzzoni.

Programma del modulo del prof. Francesco Uguzzoni:

Il grado di Brouwer. Assiomi e loro conseguenze. Teorema del punto fisso di Brouwer.  Teorema di Rouchè. Teorema di Borsuk. Teorema di Borsuk-Ulam. Teorema dell'applicazione aperta. Teorema di Perron-Frobenius. Applicazioni all'analisi, alla geometria e allo studio di equazioni differenziali. Costruzione del grado di Brouwer.

Il grado di Leray-Schauder negli spazi di Banach. Costruzione e principali proprietà. Teorema del punto fisso di Schauder. Applicazioni allo studio di equazioni differenziali.

Programma del modulo del prof. Fausto Ferrari:

Introduzione agli operatori fully nonlinear. Abstract del corso:

Durante il corso verrà introdotta la nozione di soluzione viscosa. L'obiettivo formativo principale che si prefigge questo corso è fornire gli strumenti essenziali per lo studio delle soluzioni di equazioni non lineari uniformemente ellittiche. In esse rientrano, come caso particolare, le equazioni lineari ellittiche in forma non divergenza. Le equazioni genuinamente non lineari che verranno introdotte sono quelle associate agli operatori estremali di Pucci.  Inoltre, verranno presentate le stime di  Alexandoff, il principio del massimo in questo contesto e la disuguaglianza di Harnack. Con i suddetti strumenti si procederà alla discussione della regolarità delle soluzioni di semplici equazioni non lineari, in particolare nel caso di equazioni concave/convesse.

Testi/Bibliografia

Modulo del prof. Francesco Uguzzoni:

Lloyd N.G.,   Degree Theory,    Cambridge University Press.
Deimling K.,   Nonlinear Functional Analysis,    Springer. 
Pini B.,   Lezioni di Analisi Matematica di II livello - Parte I,    Clueb.

Modulo del prof. Fausto Ferrari:

L. Caffarelli, X. Cabré,  Fully nonlinear elliptic equations AMS Colloquim pubblications, volume 43.
D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, classics in mathematics, reprint of the 1998 edition, Springer.

Metodi didattici

Il corso prevede lo svolgimento di lezioni di carattere teorico con esercizi e applicazioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prof. Ferrari: verrà fatto un esame orale in cui saranno testate le effettive conoscenze dei contenuti del corso da parte dello studente.
Prof. Uguzzoni: verrà fatto un esame orale in cui saranno testate le effettive conoscenze dei contenuti del corso da parte dello studente.

IL VOTO FINALE SARA' OTTENUTO DALLA MEDIA DEI VOTI OTTENUTI SUI DUE MODULI.

Strumenti a supporto della didattica

Per il modulo del prof. Francesco Uguzzoni verranno forniti ulteriori riferimenti bibliografici e materiale di approfondimento durante le lezioni.

Per il modulo del prof. Fausto Ferrari ulteriori dettagli sul materiale necessario alla preparazione dell'esame  verranno forniti dal docente durante le lezioni o, in alternativa, attraverso avvisi reperibili sulla sua pagina web non ufficiale.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.unibo.it/SitoWebDocente/default.htm?UPN=fausto.ferrari@unibo.it

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fausto Ferrari

Consulta il sito web di Francesco Uguzzoni