08234 - ELEMENTI DI MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine dell'insegnamento lo studente acquisisce sia una buona conoscenza degli strumenti tecnici matematici e del loro utilizzo sia dei principali metodi e strumenti di base dello studio quantitativo dei fenomeni collettivi. E' quindi grado di impostare e risolvere problemi e di assimilare nuovi concetti dall'esperienza e dalle conoscenze precedenti.

Contenuti

Matematica

A) Prerequisiti

1. Espressioni  polinomiali
2. Equazioni lineari in una variabile
   
3. Equationi di rette e circonferenze.
   
4. Sistemi lineari di equazioni in due variabili
5. Fattorizzazioni di espressioni polinomiali.
6. Equazioni di secondo grado.
7. Semplificazioni di espressioni razionali
8. Radici quadrate
   

   B)  Unità didattiche

1. Cenni a teoria degli  insiemi (Totale unità didattica 3 ore)

Funzioni tra insiemi: dominio, codominio, immagine; funzioni iniettive, suriettive e biiettive.
Esercitazioni.

2. Calcolo combinatorio (Totale unità didattica 4 ore)

Cenni di calcolo combinatorio: numero delle funzioni tra due insiemi finiti; disposizioni, permutazioni, combinazioni. Formula del binomio di Newton, coefficienti binomiali; insieme delle parti di un insieme finito.

Esercitazioni.

Conoscenze acquisite nelle unità didattiche 1 e 2:

• Conoscere il linguaggio elementare della teoria degli insiemi
  
• Sapere risolvere semplici problemi combinatori.
  

3. Matrici e determinanti (Totale unità didattica 4 ore)

Matrici: somma, differenza, combinazioni lineari.  Prodotto riga per colonna di matrici.

Calcolo del determinante di una matrice quadrata co il metodo di Gauss.

Calcolo della matrice inversa con il metodo di Gauss.

Autovalori e autovettori di una matrice quadrata

Esercitazioni.

Conoscenze acquisite nella unità didattica 3 :

• Conosce e sa operare con le operaioni su matrici dello stesso ordine e sa calcolare il prodotto di matrici .
  
• Sa calcolare il determinante e l'inversa di una matrice quadrata a eterminnte non nullo.
• Sa calcolare autovalori di una matrice quadrata e gli autovettori ad essi associati
  

4. Numeri reali e funzioni reali di una variabile reale (Totale unità didattica 5 ore)

Gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali.

L'insieme R dei numeri reali: struttura algebrica e struttura ordinata;

esistenza dei numeri irrazionali (esempio radice quadrata di 2).

Intervalli e semirette in R.

Le funzioni reali di una variabile reale e i loro grafici;

Composizione di funzioni.

Funzioni invertibili e funzione inversa.

Massimo, minimo per una funzione reale; punti di massimo e minimo assoluto.

Funzioni monotone.

Funzioni pari e dispari.

Esercitazioni.

5. Funzioni elementari (Totale unità didattica 12 ore)

La funzione valore assoluto;

Le funzioni potenza con esponente intero, razionale, reale.

La funzione esponenziale.

La funzione logaritmo; proprietà dei logaritmi; disuguaglianze logaritmiche ed esponenziali.

Esercitazioni.

Conoscenze acquisite nelle unità didattiche 4 e 5:

• Conosce le proprietà delle operazioni sui numeri reali in rapporto alle proprietà d'ordine.
  
• Conosce grafici delle funzioni elementari.
  
• Sa operare sui grafici di funzioni elementari con translazioni, simmetrie, composizioni e valore assoluto.
  

6. Cenni ai limiti e continuità (Totale unità didattica 6 ore)

Limiti: definizione e proprietà .

Limite destro e sinistro ed esistenza del limite.

Aritmetica dei simboli +∞ e −∞.

Continuità in un punto per funzioni reali; continuità ed esistenza del limite finito.

Funzioni continue e loro proprietà: permanenza del segno;

Continuità delle funzioni elementari.

Somma, differenza, prodotto,

quoziente e valore assoluto di funzioni continue.

Composizione di funzioni continue e limite di funzioni composte.

Continuità della funzione inversa.

Il teorema di Weierstrass per funzioni continue definite in un intervallo chiuso e limitato.

Il teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue definite in un intervallo; il teorema dei valori intermedi.

Esercitazioni.

7. Derivate e loro applicazioni (Totale unità didattica 10 ore)

Derivata in un punto per funzioni reali e retta tangente.

Derivata destra e sinistra. Funzione derivata.

Continuità delle funzioni derivabili.

Derivata della somma, della differenza, del prodotto e del quoziente.

Derivata della composizione e della funzione inversa.

Derivate di ordine superiore.

Massimi e minimi locali; punti stazionari.

Massimo e minimo assoluto di funzioni derivabili in un intervallo chiuso  limitato e Teorema di Fermat.

Funzioni monotone derivabili e segno della derivata .

Teorema di Rolle; teorema del valor medio di Lagrange e conseguenze:

legame tra segno della derivata e monotonia .

Convessità e concavità per funzioni derivabili in un intervallo; signi-

ficato geometrico. Segno della derivata seconda e convessità .

Punti di flesso.

Asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Grafici di funzione reale di una variabile reale.

Esercitazioni.

Conoscenze acquisite nelle unità didattiche 6 e 7:

• Conosce le proprietà dei limiti e sa calcolare semplici limiti con forme indeterminate.
  
• Conosce le derivate delle funzioni elemntari e di funzioni somma prodotto quoziente e composte.
  
• Conosce come calcolare i massimi e minimi per una funzione derivabile definita su un intervallo chiuso e limitato.
• Conosce come disegnare il grafico di una funzione reale di variabile reale usando gli strumenti del calcolo differenziale.
  

8. Integrali (Totale unità didattica 10 ore)

L'integrale di Riemann:

somme superiori ed inferiori, integrale superiore ed inferiore, integrabilità ed integrale definito.

Proprietà dell'integrale definito: integrabilità delle funzioni continue.

Teorema del valor medio integrale, funzione integrale,

teorema fondamentale del calcolo integrale ( teorema di Torricelli-Barrow).

Primitive ed integrale indefinito.

Primitive delle funzioni elementari.

Formule di integrazione per parti e per sostituzione.

Esercitazioni.

9. Cenni alle equazioni differenziali (Totale unità didattica 6 ore)

Cenni sulle equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili.

Esercitazioni.

Conoscenze acquisite nelle unità didattiche 8 e 9:

• Conosce come calcolare integrali indefiniti con i metodi di integrazione per parti e sostituzione.
• Conosce come calcolare l'area di una regione piana compresa tra due grafici di funzioni.
  
• Sa risolvere equazioni differenziali lineari e a variabili separabili del primo ordine.
  

Statistica

Prerequisiti: nozioni di matematica di base (operazioni elementari, equazioni di primo e di secondo grado).

Il corso si sviluppa in 5 unità didattiche ciascuna di 2 ore di lezione frontale che includono sia la parte teorica sia esercitazioni sulle nozioni presentate.

Introduzione alla statistica: concetti di base.

1. Natura dei caratteri. Unità statistiche, popolazione e campione. Raccolta e sistemazione dei dati. Matrici di dati e distribuzioni di frequenza.

2. Rappresentazioni grafiche.

Misure di posizione.

1. moda, mediana, quantili e medie analitiche.

Misure di diversità.

1. eterogeneità, variabilità.

Introduzione all'analisi bivariata.

1. Misure di associazione: connessione, covarianza e correlazione lineare.

2. Analisi di regressione lineare semplice.

1. Elementi di probabilità.

Testi/Bibliografia

Benedetto, D., Degli Esposti, M., Maffei, C., Matematica per le scienze della vita, Casa Editrice Ambrosiana

Testi/Bibliografia

B.Pacini, M. Raggi (2011), Statistica per l'analisi operativa dei dati, Carocci Editore: Cap.1, Cap.3, Cap.4, Cap.5 (no 5.1.4; 5.1.6; 5.2), Cap.6 (no 6.2.3), Cap.7, Cap.8, Cap.9 (no 9.2; 9.4.1; 9,5), Cap.10 (no 10.3; .10.4; 10.5),

Esercitazioni e testi di esame con soluzioni sono disponibili al sito AMS Campus.

Metodi didattici

Lezioni frontali e esercitazioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'insegnamento di Matematica è parte del Corso Integrato Matematica Con Elementi Di Statistica  insieme al seguente altro insegnamento: Statistica.
Pertanto la valutazione del corso integrato tiene conto congiuntamente del livello di conoscenze e competenze acquisite dallo studente relativamente ai contenuti di tutti i suddetti insegnamenti.   Le conoscenze e le competenze impartite dall'insegnamento di matematica vengono valutate attraverso  le seguenti modalità:

  un esame finale, scritto con una parte di domande a risposta multipla e con due o tre esercizi concernenti le parti principali del programma: cioè grafici di funzioni elementari, derivate e integrali (1 ora e mezzo).Se si ottiene la sufficienza in questa prima prova si conclude la prova con due domande sulla teoria svolta (20 minuti).

La prova di statistica (sia per studenti frequentanti sia non frequentanti) consiste di una prova scritta della durata di 2 ore, alla quale, purché con esito sufficiente, potrà seguire una prova orale facoltativa. Per la prova scritta è consentito l'utilizzo di calcolatrice, ma senza l'aiuto di appunti o libri. La prova scritta è composta da 4 esercizi e 3 domande a crocetta.

Il voto finale sarà dato dalla media pesata dei risultati ottenuti nelle prove di matematica e statistica.

Strumenti a supporto della didattica

Appunti e testi d'esame presenti sul Sito Web Docente

In presenza di tutor saranno svolte esercitazioni supplementari per poter permettere a tutti gli studenti di avere le stesse basi di conoscenza.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Francesca Cagliari

Consulta il sito web di Alessandro De Rosis