27993 - ANALISI MATEMATICA T-2

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza metodologica ed operativa degli aspetti istituzionali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili.

Contenuti

Sono prerequisiti essenziali del corso la conoscenza di tutti gli argomenti svolti nel corso di Analisi Matematica T1, nonchè di numerosi argomenti svolti nel corso di Geometria e Algebra T (spazi vettoriali, trasformazioni lineari, matrici, determinanti, geometria analitica nel piano e nello spazio).
PROGRAMMA DEL CORSO
LO SPAZIO EUCLIDEO R^n. La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Sottoinsiemi di R^n aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi. LIMITI, CONTINUITÀ E CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali: generalità. Definizione di funzione continua e di limite. I teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi e di Heine-Cantor per funzioni di più variabili. Definizione di derivata parziale e di derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C^1; il differenziale e la matrice jacobiana. Il teorema sulla differenziabiltà di una funzione composta. Derivate parziali di ordine superiore. Formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di più variabili. Estremanti relativi per funzioni reali di più variabili reali liberi e vincolati. INTEGRALE MULTIPLO. Misura di Peano-Jordan. Definizione di integrale doppio di Riemann su insiemi limitati e misurabili. Proprietà dell'integrale doppio.  I teoremi di riduzione su rettangoli e su insiemi semplici. Il teorema di cambiamento di variabili. Integrali tripli: estensione delle definizioni e dei teoremi sugli integrali doppi. Cenni sugli integrali doppi generalizzati. INTEGRALI CURVILINEI E DI SUPERFICIE. Curve regolari e regolari a tratti, lunghezza di una curva, integrale di una funzione su una curva. L'integrale di un campo vettoriale su una curva orientata. Campi vettoriali conservativi e loro potenziali. Il teorema di Green-Gauss. Superficie regolari e regolari a tratti in R^3, area di una superficie, integrale di una funzione su di una superficie.  Flusso di un campo vettoriale attarverso una superficie orientata. I teoremi della divergenza e di Stokes. SERIE DI FUNZIONI E INTEGRALI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO. Generalità sulle serie di funzioni.  Serie di potenze in R e in C: lemma di Abel, raggio di convergenza, proprietà della somma di una serie di potenze, funzioni analitiche reali e complesse. Integrali  dipendenti da un parametro: loro continuità e derivabilità.  EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi differenziali. Teoremi di esistenza, unicità, prolungabilità e dipendenza  continua dai dati delle soluzioni.

Testi/Bibliografia

G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 2 (in preparazione)
Un libro di esercizi sulle funzioni di più variabili reali, ad esempio: M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Progetto Leonardo - Esculapio (2012)

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi alle proprietà alle funzioni reali di più variabili reali e alle equazioni differenziali non lineari. Le lezioni sono sempre integrate con esempi e controesempi relativi ai concetti fondamentali illustrati. Inoltre vengono svolti numerosi esercizi in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova scritta e una prova orale. Nella prova scritta, della durata di tre ore,  viene richiesta la risoluzione di esercizi sulle varie parti del corso. L'accesso alla successiva prova orale è consentito solamente a coloro che abbiano superato la prova scritta. La prova orale verte sulla verifica della comprensione dei concetti fondamentali e sulla conoscenza delle definizioni e degli enunciati dei principali risultati. Di alcuni teoremi, specificati durante il corso, potrà essere richiesta la dimostrazione. La prova orale  dovrà essere sostenuta nello stesso appello in cui si è superata la prova scritta. Solo nel periodo giugno-luglio la prova orale potrà essere sostenuta anche nell'appello successivo a quello in cui è stato superato lo scritto. La prova scritta può essere sostituita da due prove parziali, della durata di due ore ciascuna, che dimostrino la continuità dello studio da parte dello studente.

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato (qualora assegnato)

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Enrico Obrecht