29228 - GEOMETRIA E ALGEBRA T (L-Z)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso e dopo aver superato la prova di verifica finale, lo studente conosce, sia in astratto che in concreto, il calcolo matriciale, gli spazi vettoriali, gli autovalori, le forme quadratiche e la geometria analitica, sottolineandone sia le valenze teoriche che applicative. l'apprendimento dell'algebra lineare e della geometria nei suoi vari aspetti fornisce mezzi potenti e versatili per altre branche della matematica e dell'ingegneria.

Contenuti

Strutture algebriche.
Gruppi, anelli e campi. Operazioni in K ^ n e tra polinomi.
Matrici e determinanti.
Definizioni di base. Operazioni tra matrici e loro algebra. Trasformazioni elementari. Determinanti e inverse di matrici quadrate. Metodi di calcolo.
Spazi vettoriali e basi.
Definizioni di base. Sottospazi. Combinazioni lineari. Somma di sottospazi. Dipendenza lineare. Basi e dimensione.
Trasformazioni lineari e sistemi lineari.
Trasformazioni lineari. Isomorfismi e endomorfismi. Immagine, nucleo ed equazione dimensionale.
Rappresentazione matriciale di trasformazioni lineari e endomorfismi. Cambiamenti di base.
Rango di matrici. Sistemi lineari. Metodi di risoluzione. Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi.
Autovalori, autovettori e autospazi.
Autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi e matrici. Similitudine di matrici.
Polinomio caratteristico. Diagonalizzazione di matrici.
Prodotti scalari e geometria analitica.
Prodotto scalare, norma, ortogonalità. Basi ortonormali. Matrici di Gram e volumi.
Euclidee spazi e sottospazi, parallelismo, ortogonalità e distanze (specie in dimensione 2 e 3).
Forme bilineari e quadratiche.
Forme bilineari. Rappresentazione matriciale di forme bilineari. Congruenza di matrici. Indice e sigla. Forme quadratiche reali. Forme canoniche.
Coniche e quadriche.
Equazioni canoniche e proprietà geometriche di base.

Esercitazioni.
Calcolo di determinanti, inverse e ranghi di matrici. Discussione e risoluzione di sistemi lineari. Determinazione e rappresentazione di trasformazioni lineari. Trovare le equazioni di sottospazi lineari e euclidei cpn passaggio tra rappresentazioni diverse. Calcolo di autovalori e autovettori. Diagonalizzazione per similitudine di matrici. Risoluzione dei problemi relativi parallelismo, ortogonalità e distanze. Rappresentazione e studio di forme bilineari e quadratiche.Diagonalizzazione per congruenza di matrici. Classificazione delle sezioni coniche.

Testi/Bibliografia

• Casali M.R., Gagliardi C., Grasselli L., "Geometria", Progetto Leonardo, Bologna, 2010 (testo ufficiale del corso).

• L. Gualandri, "Algebra lineare e Geometria – Esercizi e quiz risolti e d'esame", Progetto Leonardo, Bologna, 2007.

• A. Barani, L. Grasselli, C. Landi, "Algebra lineare e Geometria - Quiz ed esercizi commentati e risolti", Progetto Leonardo, Bologna, 2005.

Metodi didattici

Lezione tradizionale ed esercitazioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e poi in una prova orale, condizionata dall'esito positivo della prima. Entrambe vertono sull'intero programma svolto a lezione. La prova scritta è composta da due parti: una scheda di teoria a quiz con nove domande a risposta multipla e un foglio di esercizi. La scheda di teoria dev'essere compilata nei primi 45 minuti in totale assenza di ausilii, mentre durante la parte destinata agli esercizi, si consente di avvalersi di libri, appunti e semplici mezzi di calcolo.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luciano Gualandri