27213 - ANALISI MATEMATICA 2

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscere gli strumenti dell'analisi Matematica e vederne alcune applicazioni, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili e alle equazioni differenziali.

Contenuti

Premesse: R^n è uno spazio normato. Definizioni e principali proprietà di: insieme aperti o chiuso, insieme limitato, insieme compatto. Definizione di limite per funzioni in più variabili a valori reali. Funzioni da R^n a R^m: definizione, limitatezza, continuità. Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili.
Calcolo differenziale in più variabili e applicazioni a) funzioni da R^n a R: derivate parziali, gradiente, derivate direzionali, derivate di ordine superiore, matrice hessiana, lemma di Schwarz. Significato geometrico del gradiente, teoremi su esistenza del piano tangente al grafico e su espressione delle derivate direzionali in funzione del gradiente, la derivata nella direzione del gradiente è massima(*). Formula di Taylor del I e del II ordine. Applicazione: estremanti relativi per funzioni di più variabili. Definizione di massimo e minimo locale, di punto critico. Teorema di Fermat(*). Richiami sulle proprietà delle matrici simmetriche e sulle forme quadratiche. Teoremi su condizioni necessarie o sufficienti (gradiente nullo +classificazione matrice hessiana)(*); b) funzioni da R^n in R^m: derivate parziali, matrice jacobiana. Matrice jacobiana della funzione composta e della funzione inversa(*).
Integrazione Definizione di misura di Peano-Jordan per insiemi limitati di R^n, misura interna e misura esterna. Definizione di integrale di Riemann per funzioni continue, limitate, non negative e definite su intervalli limitati come misura del sottografico. Parte positiva e parte negativa di una funzione e integrale di una funzione continua di segno variabile su un intervallo limitato. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività. Teorema della media integrale. Principio di Cavalieri. Teorema di riduzione per integrali doppi e tripli di funzioni continue definite su domini normali. Teorema del cambiamento di variabile (cambiamenti di coordinate polari(*), sferiche(*) e cilindriche(*)).
Equazioni differenziali e problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari di ordine n: Equazione omogenea a coefficienti continui: regolarità e dominio massimale delle soluzioni, principio di sovrapposizione (*), le soluzioni formano uno spazio vettoriale n-dimensionale. Wronskiano: definizione ed equazione differenziale del Wronskiano, teorema del Wronskiano (dimostrazione nel caso n=2). Unicità della soluzione del problema di Cauchy, soluzioni indipendenti corrispondono a problemi di Cauchy con vettori indipendenti delle condizioni iniziali. Equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti: equazione caratteristica, soluzione nel caso le radici siano semplici o multiple, reali o complesse. Equazione di Eulero (risoluzione con cambio di variabile). Equazioni non omogenee a coefficienti e termine noto continui: regolarità e dominio massimale delle soluzioni, differenza di due soluzioni della non omogenea è soluzione dell'omogenea(*), somma di una soluzione dell'omogenea e una della non omogenea è soluzione della non omogenea(*), la soluzione generale è la somma di una soluzione particolare della non omogenea e della soluzione generale della omogenea. Unicità della soluzione del problema di Cauchy. Metodo di variazione delle costanti nel caso n=2(*). Metodo di simpatia (termine noto: exp(a x), cos(bx), sen(cx), x^l). Varietà regolari di R^n: vettori normali e tangenti ad una varietà in un punto. Equazione della retta/piano tangente/normale a una varietà in un punto. Teorema del Dini e invertibilità locale. Estremanti condizionati: definizione, teorema di Fermat per estremi condizionati, teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Curve regolari semplici aperte o chiuse, vettore tangente, retta tangente, orientamento,curva regolare a tratti orientabile, lunghezza di una curva regolare semplice aperta. Superfici regolari con bordo, spazio tangente, orientamento, area di una superficie regolare. Campi vettoriali: definizione, rotore, divergenza. Lavoro di un campo vettoriale. Forme differenziali esatte e campi vettoriali conservativi. Forme differenziali chiuse e campi vettoriali irrotazionali. Condizioni necessarie o sufficienti per esattezza di una forma differenziale.(*) Il lavoro di un campo conservativo lungo una curva chiusa orientata è nullo, integrali curvilinei e forme differenziali esatte o chiuse. Lemma di Poincarè (campo irrotazionale definito in un insieme convesso o stellato è conservativo). Condizione sufficiente per l'esattezza della forma differenziale associata a un campo vettoriale irrotazionale definito in R^2 privato di un punto è che il lavoro lungo una curva chiusa sia nullo. Teorema di Stokes o del rotore.Teorema di Gauss o della divergenza.

Metodi didattici

Lezione in aula e esercitazioni

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova scritta e prova orale

Strumenti a supporto della didattica

Appunti ed esercizi nella pagina web http://www.dm.unibo.it/~arcozzi/didattica.html

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~arcozzi/didattica.html

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Nicola Arcozzi