54777 - GEOMETRIA PROIETTIVA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce i principali elementi della teoria degli spazi proiettivi. Sa comprendere la geometria affine come aspetto locale della geometria proiettiva e viceversa, la geometria proiettiva come sintesi dei fenomeni affini.

Contenuti

Spazi proiettivi: definizione e modelli geometrici. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee rispetto a un riferimento; punti fondamentali e punti unità. Il riferimento proiettivo standard su Pn(K). Sottospazi proiettivi; equazioni parametriche e cartesiane. Il sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme dello spazio.Punti linearmente indipendenti; punti in posizione generale; un riferimento è determinato da una (n+2)-upla di punti in posizione generale. Sottospazi proiettivi incidenti e sghembi, formula di Grassmann proiettiva e conseguenze. Cono proiettante un sottoinsieme da un punto; proiezione di centro un punto su un iperpiano.
Completamento di uno spazio affine ad uno spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di un sottospazio affine.
Morfismi proiettivi. Il gruppo delle proiettività. Equazioni di un morfismo proiettivo. Esiste ed è unico l'isomorfismo proiettivo tra spazi proiettivi n-dimensionali che manda una (n+2)-pla di punti in posizione generale in una (n+2)-pla di punti in posizione generale. Equazioni di cambiamento di coodinate omogenee. Birapporto di quattro punti di una retta proiettiva; il birapporto è invariante per isomorfismi proiettivi. Elementi uniti di una proiettività. La proiettività indotta da una affinità.
La dualità vettoriale δ:Gr(t,V) → Gr(n-t,V˘) per uno spazio vettoriale n-dimensionale; la dualità proiettiva: Gr(s,P(W))→ Gr(n-s-1,P(W)˘) per uno spazio proiettivo n-dimensionale.
Sistemi lineari di iperpiani. Duale di un sottospazio proiettivo S e sistema lineare di centro S.
Principio di dualità.
Richiami sui polinomi omogenei. Ipersuperfici algebriche di P^n e di A^n (curve algebriche piane, superfici algebriche dello spazio 3-dim. ); grado, supporto. Cosa vuol dire classificare una curva algebrica (o più in generale una ipersuperfice) dal punto di vista affine, euclideo, proiettivo.
Classificazione proiettiva delle coniche e delle quadriche reali e complesse con descrizione geometrica delle forme canoniche. Classificazione proiettiva delle iperquadriche reali e complesse.
Classificazione affine delle coniche e delle quadriche reali e complesse. Classificazione euclidea delle coniche e delle quadriche.
Descrizione geometrica di coniche e quadriche di R^2, risp.R^3 in forma canonica. Ellisse, iperbole e parabola come luogo di punti; assi, centro.
Fasci di coniche proiettive (definizione ed esempi).
Completamento proiettivo di una curva algebrica affine; classificazione delle coniche mediante i punti impropri. Retta tangente a una conica non degenere affine e proiettiva. Asintoti.

Testi/Bibliografia

E.Sernesi: Geometria 1, Bollati Boringhieri 1989.
http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaProiettiva/hompg/hompg.htm

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame orale

Strumenti a supporto della didattica

durante il corso vengono distribuiti fogli di esercizi che sono successivamente corretti in classe

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~ida/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Monica Idà