- Docente: Monica Idà
- Crediti formativi: 6
- SSD: MAT/03
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Moduli: Monica Idà (Modulo 1) Libero Verardi (Modulo 2)
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 1) Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 2)
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea in Matematica (cod. 0436)
Conoscenze e abilità da conseguire
Studiare, utilizzando l'algebra lineare appresa in Geometria I e II, gli spazi proiettivi, mostrando la geometria affine come aspetto locale della geometria proiettiva e viceversa la geometria proiettiva come sintesi dei fenomeni affini.
Contenuti
Spazi proiettivi: definizione e modelli geometrici. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee rispetto a un riferimento; punti fondamentali e punti unità. Il riferimento proiettivo standard. Sottospazi proiettivi; equazioni parametriche e cartesiane. Il sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme dello spazio. Punti linearmente indipendenti; punti in posizione generale; un riferimento è determinato da una (n+2)-upla di punti in posizione generale. Sottospazi proiettivi incidenti e sghembi, formula di Grassmann proiettiva e conseguenze. Cono proiettante un sottoinsieme da un punto; proiezione di centro un punto su un iperpiano. Completamento di uno spazio affine ad uno spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di un sottospazio affine. Morfismi proiettivi. Il gruppo delle proiettività. Equazioni di un morfismo proiettivo. Esiste ed è unico l'isomorfismo proiettivo tra spazi proiettivi n-dimensionali che manda una (n+2)-pla di punti in posizione generale in una (n+2)-pla di punti in posizione generale. Equazioni di cambiamento di coodinate omogenee. Birapporto di quattro punti di una retta proiettiva; il birapporto è invariante per isomorfismi proiettivi. Elementi uniti di una proiettività. La proiettività indotta da una affinità. Dualità vettoriale e dualità proiettiva. Sistemi lineari di iperpiani. Duale di un sottospazio proiettivo S e sistema lineare di centro S. Principio di dualità. Il teorema di Desargues. Classificazione proiettiva delle coniche e delle quadriche reali e complesse con descrizione geometrica delle forme canoniche. Classificazione proiettiva delle iperquadriche reali e complesse.
Testi/Bibliografia
E.Sernesi, Geometria I, Bollati Boringhieri, Torino 1989.
Appunti ed esercizi distribuiti durante il corso.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni in classe. All'inizio del corso verrà valutata la possibilità che gli studenti tengano seminari su argomenti correlati a quelli trattati a lezione.
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
Esame orale. Se uno studente ha tenuto un seminario, ne verrà tenuto conto ai fini della sua valutazione.
Link ad altre eventuali informazioni
http://www.dm.unibo.it/matematica/GeometriaProiettiva/hompg/hompg.htm
Orario di ricevimento
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