B5526 - GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 1 (M-Z)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso si acquisisce la conoscenza dei primi concetti dell’algebra lineare quali spazi vettoriali ed applicazioni lineari. Si diventa capaci di applicare in modo autonomo tali conoscenze per enunciare e dimostrare risultati geometrici con un linguaggio rigoroso.

Contenuti

- Anelli e campi: definizioni ed esempi.

- Divisori di zero. Un campo è privo di divisori di zero. L'anello Z/n. Z/n è un campo se e solo se n è primo.

- K-spazi vettoriali: definizione e discussione di alcune proprietà. Lo spazio vettoriale K^n. Lo spazio vettoriale delle matrici mxn.

- Lo spazio dei polinomi in una variabile a coefficienti in un campo.

- Sottospazi vettoriali: definizione, esempi, controesempi

- Intersezione e somma di sottospazi. Sottospazio generato.

- Spazi vettoriali finitamente generati. Esempi e osservazioni sui sistemi di generatori.

- Teorema dello scambio e sue principali conseguenze. Definizione di base e dimensione.

- Insieme di generatori per la somma di due sottospazi.

- La formula di Grassmann.

- Somma diretta. La trasposta di una matrice. Matrici simmetriche e antisimmetriche.

- Applicazioni lineari: esempi e prime proprietà. Controesempi. Le applicazioni lineari da K a K. Nucleo di una applicazione lineare e caratterizzazione della iniettività.

- Immagine di una applicazione lineare. Teorema del rango e sue principali conseguenze.

- Costruzione di applicazioni lineari soddisfacenti condizioni assegnate.

- Matrice associata ad una applicazione lineare.

- Matrice del cambiamento di base.

- Struttura della controimmagine di un vettore mediante una applicazione lineare.

- Sistemi lineari omogenei e non omogenei, parametrici e non.

- Teorema di Rouché-Capelli.

- Prodotto di matrici.

- Proprietà del prodotto di matrici e matrice della composizione di applicazioni lineari. Cambiamenti di base. Matrici invertibili. Matrici simili: definizione e prime osservazioni.

- Hom(V,W) e isomorfismo con lo spazio delle matrici.

- Le proiezioni: caratterizzazioni e proprietà.

- Matrici associate ad applicazioni lineari: riflessioni.

- Esistenza di inversa destra e sinistra di una applicazione lineare. Operazioni elementari su una matrice come cambiamenti di base nel codominio.

- Lo spazio duale. Base duale. Annullatore di un sottospazio.

- Il determinante di una matrice: definizione e proprietà.

- Il determinante, dimostrazioni.

- Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Autospazi, molteplicità geometrica e algebrica, sottospazi invarianti.

- Invarianti per similitudine. Endomorfismi diagonalizzabili.

- Autospazi relativi ad autovalori diversi sono in somma diretta.

- Teorema di diagonalizzabilità.

- Vettori ciclici e matrici compagne. Esistenza di vettori ciclici.

- Spazio quoziente.

- Applicazioni lineari indotte sul quoziente.

- Triangolabilità di un endomorfismo.

Testi/Bibliografia

M. Manetti. Algebra Lineare, per matematici

Metodi didattici

Lezioni frontali alla lavagna con discussioni aperte. Ricevimenti individuali e collettivi. Sessioni di esercitazioni. Verranno forniti agli studenti numerosi esercizi ed organizzati appuntamenti per la correzione e la discussione di questi esercizi.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Si accede alla prova orale dopo aver superato la prova scritta. La prova scritta comprende una parte preliminare di livello base che è necessario superare affinché la prova scritta sia considerata sufficiente.

Strumenti a supporto della didattica

E' prevista un'attività di tutorato.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Roberto Pagaria

Consulta il sito web di Nicoletta Cantarini