B5521 - ARITMETICA E GRUPPI (M-Z)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso si acquisisce familiarità con nozioni di teoria degli insiemi, di aritmetica e aritmetica modulare e della teoria dei gruppi. Si diventa capaci di applicare in modo autonomo tali conoscenze per dimostrare enunciati algebrici con un linguaggio rigoroso.

Contenuti

Operazioni tra insiemi. Relazioni, relazioni d'equivalenza; relazioni d'ordine totale e parziale. Classi di equivalenza, insieme quoziente. Partizioni di un insieme.

Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche;  composizione di funzioni e loro inversa.

Assiomi di Peano per i numeri naturali; principio di induzione. Esempi di dimostrazione per induzione. Costruzione dei numeri interi, razionali, cenni alla costruzione dei numeri reali. Costruzione dei numeri complessi, cenni al teorema fondamentale dell'algebra.

Definizione di somma e prodotto su Z/n. Criteri di divisibilità.

Numeri primi e numeri irriducibili; i primi sono irriducibili. La divisione con resto in Z. MCD tra due numeri interi e sua esistenza. Algoritmo di Euclide, identità di Bèzout; esempi.

Gli irriducibili sono primi. Z/n è un campo se e solo se n è primo. Esempio di calcolo dell'inversa. Il teorema fondamentale dell'aritmetica.

Teorema cinese del resto. Funzione di Eulero e sue proprietà. Teorema di Eulero. Risoluzione di congruenze lineari; esempi. Sistemi di congruenze lineari: esistenza e "unicità" delle soluzioni; risoluzione tramite identità di Bézout. Generalizzazione del piccolo teorema di Fermat agli interi liberi da quadrati. Introduzione alla crittografia. Il metodo RSA. Esempi.

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Definizione di gruppo; gruppi commutativi e non commutativi. Ordine di gruppi ed elementi. Teorema di Lagrange.

Nucleo e immagine di un omomorfismo, loro proprietà. Isomorfismi di gruppi; esempi e controesempi.

Gruppo simmetrico e gruppo alterno. Notazioni ciclica delle permutazioni.

Sottogruppi e sottogruppi normali. Teorema di omomorfismo. Azioni di gruppi su insiemi. Teorema di Cayley; esempi.

Classi di coniugio e applicazioni. Gruppi di ordine p^n. Sottogruppi di Sylow e teoremi di Sylow. Classificazione di gruppi finiti di ordine basso.

Testi/Bibliografia

 

Ogni libro di testo per un corso di aritmetica va bene.

Metodi didattici

Lezioni frontali alla lavagna.

Fogli di esercizi.

Ricevimento studenti.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

 

Esami scritti e orali.

Strumenti a supporto della didattica

 

Tutoraggi e correzione di esercizi.

Orario di ricevimento

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