B5528 - GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso si acquisisce una conoscenza approfondita di concetti di algebra lineare quali le forme canoniche di endomorfismi e l’algebra bilineare. Si diventa capaci di applicare tali conoscenze a problemi geometrici elementari.

Contenuti

 

Spazi vettoriali quoziente e teoremi di omomorfismo e isomorfismo.

Decomposizione in autospazi generalizzati. Forma canonica di Jordan. Invarianti della forma di Jordan e forma di Jordan di matrici compagne. Teorema di Cayley-Hamilton.

Decomposizione primaria e componenti primarie. Forma canonica razionale. La nozione di similitudine tra matrici è insensibile alle estensioni di campo.

Forme bilineari: simmetriche, antisimmetriche, (non)degeneri. Forme bilineari reali: (semi)definite positive e negative. Segnatura.
Forme sesquilineari complesse: hermitiane, antihermitiane, prodotti scalari.

Nucleo (destro e sinistro) di una forma bilineare. Dimensione dell'ortogonale (destro e sinistro) di un sottospazio. Decomposizioni ortogonali.

Matrici associate a forme bilineari. Congruenza.

Diagonalizzazione di forme bilineari simmetriche. Decomposizione di forme alternanti in somma ortogonale del nucleo e di piani simplettici.

Teorema spettrale complesso per operatori normali. Teorema spettrale reale per operatori autoaggiunti. Teorema spettrale per forme bilineari simmetriche reali.

 

 

Testi/Bibliografia

 

M. Manetti "Algebra linear, per matematici"

S. Lang "Algebra lineare"

Metodi didattici

Lezioni alla lavagna.

Risoluzione di esercizi in sessioni di esercitazione.

 

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto e orale.

Strumenti a supporto della didattica

Tutoraggi.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Alessandro D'Andrea

Consulta il sito web di Nicoletta Cantarini