27210 - ANALISI MATEMATICA 1 (M-Z)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente acquisisce nozioni di base del calcolo infinitesimale e integrale, sviluppando insieme l'abitudine al ragionamento scientifico e una sensibilità all'analisi di modelli matematici, soprattutto tramite lo studio dello sviluppo asintotico di funzioni. Inoltre è in grado di compiere uno studio dettagliato di funzioni in una variabile, di successioni e serie sia numeriche che di funzioni.

Contenuti

1. Logica matematica. Cenni di logica. Simboli e tipologie di dimostrazione.
   
2. Insiemi. Definizione degli insiemi numerici N, Z, Q. Costruzione assiomatica dei reali. Esistenza di estremo inferiore e superiore di un insieme. Cardinalità di un insieme, numerabilità dei razionali, non numerabilità dei numeri reali.
3. Elementi di topologia della retta. Valore assoluto e sue proprietà. Sottoinsieme aperti e chiusi, limitati, compatti, connessi. Punti di accumulazione.
4. Successioni e serie. Successioni convergenti e divergenti.
   Algebra dei limiti. Teorema del confronto. Le successioni monotone e limitate sono convergenti. Definizione del numero di Nepero. Sottosuccesioni e teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy e seconda definizione della completezza (una successione in R è convergente se e solo se è di Cauchy). Simboli di Landau.
   Serie convergenti. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi (criteri del rapporto, della radice e di condensazione). Serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata.
   Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz (per serie a segno alterno).
   
5. Funzioni. Definizione e operazioni (composizione, invertibilità).
   Funzioni di una variabile reale. Funzioni elementari. Limiti. Teorema di collegamento.
   Funzioni continue (teorema degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass) ed uniformemente continue (teorema di Heine-Cantor).
6. Derivate. Definizione. Algebra delle derivate. Derivata della composta e dell'inversa. Derivabilità delle funzioni elementari. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange.  Test di monotonia.
   Funzioni convesse. Derivate di ordine superiore. Test di convessità. Teoremi di Cauchy e De L'Hopital. Formula di Taylor con resto di Peano.
7. Integrali. Integrale secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Proprietà. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Primitive. Metodi di integrazione: per parti, per sostituzione, fratti semplici. Integrali generalizzati e criteri di convergenza.
8. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Proprietà della convergenza uniforme. Convergenza assoluta e totale. Serie di potenze.
9. Equazioni differenziali ordinarie. Lineari del primo ordine. Equazioni a variabili separabili del primo ordine. Lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non. Problemi di Cauchy. Teorema delle contrazioni. Teorema di esistenza e unicità.

Testi/Bibliografia

Testi consigliati per la teoria:

• E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Borighieri.
• G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht, Elementi di Analisi Matematica, Zanichelli.
• P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica uno, Liguori.
• M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa. Analisi matematica 1, Zanichelli.

Testi consigliati per gli esercizi:

• M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio.
• S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli.

Metodi didattici

Lezioni frontali volte a illustrare i concetti fondamentali, esempi e controesempi.

Svolgimento di esercizi da parte dei docenti per una migliore comprensione delle nozioni di base.

Proposta di esercizi supplementari da usare come traccia per lo studio individuale.

Ricevimento studenti su appuntamento a richiesta.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame finale del corso consiste in una prova scritta e in una prova orale, entrambe obbligatorie e da sostenere nell'ordine.

La prova scritta mira a verificare la capacità di applicare la teoria alla risoluzione di esercizi del tipo di quelli proposti durante il corso. Vanno riportati e motivati i passaggi. Non è ammesso l'uso di libri, appunti o calcolatrici; solo carta e penna. Dura 2 ore e 30 minuti.

La valutazione della prova scritta è espressa in trentesimi ed è da intendersi superata con voto maggiore o uguale a 18/30.

Se la prova scritta è superata, si può accedere alla prova orale. Questa mira a verificare la conoscenza e la comprensione della teoria sviluppata durante il corso. Verrà chiesto di dare definizioni ed esempi dei concetti e di dare enunciati e dimostrazioni di teoremi.

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato (da definirsi) e ricevimento studenti.

Ulteriore materiale didattico sarà reso disponibile alla pagina Virtuale del corso.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Nicola Abatangelo