96759 - REPRESENTATION THEORY

Conoscenze e abilità da conseguire

At the end of the course, the student knows the fundamental notions of finite-dimensional Lie algebras and their representation theory. The student is able to handle the main tools of this theory that can be used to construct mathematical models.

Contenuti

Le algebre di Lie sono strutture algebriche affascinanti e ricche di applicazioni alla geometria e alla fisica matematica. In questo corso studieremo le algebre di Lie di dimensione finita.

Dopo aver descritto alcune classi basilari di algebre di Lie (come quelle nilpotenti e quelle risolubili), ci focalizzeremo sulla classe delle algebre di Lie semisemplici. Di tali algebre descriveremo la struttura, la classificazione ed infine la teoria delle rappresentazioni.

In particolare introdurremo le nozione fondamentale di sistema di radici, ed insieme studieremo una particolare classe di gruppi finiti generati da riflessioni detti gruppi di Weyl. Vedremo come tali oggetti, di natura combinatorica, permettono di classificare le algebre di Lie semisemplici e le loro rappresentazioni irriducibili.

Esercizi ed esempi concreti saranno proposti per guidare il processo di apprendimento.

Il corso non prevede nessun particolare prerequisito, a parte una buona conoscenza dell'algebra lineare.

Gli studenti interessati alla teoria delle rappresentazioni in altri contesti - come gruppi e algebre associative - sono invitati a seguire i corsi Complementi di algebra (66696) e Combinatoria Algebrica (96730).

Testi/Bibliografia

Il testo di riferimento fondamentale di questo corso è

• J. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, terza edizione, Springer, 1990.

Un altro riferimento utile (di approccio più didattico ed elementare del precedente, ma che non copre la teoria delle rappresentazioni) è

• K. Erdmann, M.J. Wildon: Introduction to Lie algebras, Springer, 2006.

Entrambi i libri sono disponibili in versione ebook dal sito della biblioteca del dipartimento utilizzando l'account studente.

Metodi didattici

Ogni settimana, 4 ore di lezione frontale di teoria e un'ora di esercizi (da decidere insieme agli studenti).

Settimanalmente sarà distribuito un foglio di esercizi. Il lavoro che lo studente dedicherà alla risoluzione di tali esercizi sarà fondamentale per la comprensione della teoria.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Consegna degli esercizi distribuiti durante il corso ed esame orale.

Strumenti a supporto della didattica

Lezioni alla lavagna ed esercizi assegnati settimanalmente

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Jacopo Gandini

Consulta il sito web di Alessandro D'Andrea