96734 - TEORIA DEGLI SCHEMI

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede una conoscenza di base nell’ambito della geometria algebrica, in particolare per quanto riguarda la teoria degli schemi; è in grado di utilizzare queste conoscenze nella propria ricerca in ambito sia geometrico sia algebrico.

Contenuti

La teoria degli schemi, sviluppata da Alexander Grothendieck negli anni '60 del secolo scorso, è il linguaggio moderno e rigoroso con cui si studia/fa/scrive la geometria algebrica. Esso unifica la geometria algebrica classica (ovvero lo studio dei luoghi di zeri di equazioni polinomiali a coefficienti in un campo algebricamente chiuso) e la teoria algebrica dei numeri (ovvero lo studio del comportamento degli ideali primi rispetto alle estensioni finite di campi del campo dei numeri razionali), permettendo di dare intuizione geometrica all'algebra commutativa.
Vale la seguente analogia: il calcolo differenziale (cioè lo studio delle funzioni differenziabili tra aperti di R^n svolto ad Analisi 2) sta alla geometria differenziale (cioè lo studio delle varietà differenziabili), come l'algebra commutativa (cioè lo studio degli anelli commutativi) sta alla teoria degli schemi. Infatti, in modo molto vago, si può dire che uno schema è un "oggetto geometrico" che localmente si comporta come un anello.

Gli argomenti trattati nel corso comprendono: fasci, schemi, proprietà globali e locali degli schemi, fasci coerenti.

Prerequisiti:
- algebra commutativa (come trattata nel corso 06689 - ALGEBRA COMMUTATIVA): anelli, ideali, moduli, moduli di frazioni, prodotti tensoriali di moduli, piattezza, anelli noetheriani e artiniani, estensioni finite e intere, Nullstellensatz, cenni di teoria della dimensione.
Referenze: libro "Introduction to commutative algebra" di Atiyah e Macdonald, capitoli 1-3, 5-8 e cenni del capitolo 11;
libro "Commutative ring theory" di Matsumura, capitoli 1-5, 7, 13;
libro "Commutative algebra" di Eisenbud, capitoli 1,2,4,8,13;
libro "Undergraduate commutative algebra" di Reid.

- geometria proiettiva (come trattata nel corso 54777 - GEOMETRIA PROIETTIVA): spazio proiettivo, carte affini, coordinate omogenee, proiettività, (dis)omogeneizzazione di polinomi, ipersuperfici algebriche affini e proiettive, quadriche e coniche, studio delle singolarità delle curve algebriche piane, una qualche definizione di molteplicità di intersezione tra due curve, enunciato del teorema di Bezout.
Referenze: libro "Geometria 1" di Sernesi, capitoli 3,4;
libro "Geometria proiettiva" di Fortuna, Frigerio, Pardini.

- geometria algebrica "classica" (come trattata nel corso 96733 - CURVE E SUPERFICI ALGEBRICHE): topologia di Zariski su k^n e su P^n(k) per un campo algebricamente chiuso k, Nullstellensatz, corrispondenza tra ideali massimali/primi/radicali e punti/chiusi irriducibili/chiusi, varietà affini e (quasi-)proiettive, funzioni regolari, morfismi, equivalenza tra la categoria delle varietà affini e la categoria delle k-algebre ridotte di tipo finito, prodotti, immersioni di Segre e di Veronese, funzioni e mappe razionali, equivalenza tra la categoria i cui oggetti sono le varietà irriducibili e le cui frecce sono le mappe razionali dominanti e la categoria delle estensioni finitamente generate di campi di k, dimensione, spazio tangente e liscezza.
Referenze: libro "Algebraic Geometry" di Hartshorne, sezioni I.1-5;
libro "An invitation to algebraic geometry" di Smith et al, capitoli 1-7;
libro "Undergraduate algebraic geometry" di Reid;
libro "Basic algebraic geometry" di Shafarevich, sezioni 1.1-6, 2.1;
libro "Algebraic Geometry 1. Complex projective varieties" di Mumford;
appunti di geometria algebrica di O'Grady https://www1.mat.uniroma1.it/people/ogrady/index-geom-alg-2024.html
libro "An Undergraduate Primer in Algebraic Geometry" di Ciliberto.

 

Tutto il materiale (riferimenti bibliografici, registro delle lezioni, fogli degli esercizi, regole per l'esame) comparirà nella pagina web del corso:

https://www.dm.unibo.it/~andrea.petracci3/2025Schemi/

Testi/Bibliografia

Testi consigliati: 

Hartshorne, Algebraic geometry, GTM 52, Springer

Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford Graduate Texts in Mathematics

 

Altri testi per la consultazione:

Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer

Eisenbud & Harris, The geometry of schemes, GTM 197, Springer

Görtz & Wedhorn, Algebraic geometry I: Schemes, Springer

Görtz & Wedhorn, Algebraic geometry II: Cohomology of schemes, Springer

 

Metodi didattici

Lezioni frontali alla lavagna

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esercizi per casa + esame orale

Link ad altre eventuali informazioni

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Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Petracci