16314 - ANALISI MATEMATICA B

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo Studente conosce gli aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali e alle equazioni differenziali, al fine di saper utilizzare tali conoscenze per interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria.

Contenuti

Lo spazio euclideo R^n; limiti e funzioni continue di più variabili reali; calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili; integrali curvilinei; campi vettoriali e potenziali; equazioni differenziali ordinarie.

Programma dettagliato

LO SPAZIO EUCLIDEO R^n.

La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Palle aperte ed intorni. Sottoinsiemi di R^n aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi per archi.

LIMITI, CONTINUITÀ E CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali. Punti di accumulazione. Limite di una funzione. Funzioni continue. I teoremi di Weierstrass, degli zeri, di Bolzano per funzioni di più variabili. Derivata parziale e derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C^1.  Differenziabilità di una funzione composta. Regola della catena.

Derivate parziali di ordine superiore. Matrice Hessiana. Formula di Taylor del secondo ordine per funzioni di più variabili.

Teorema del valor medio di Lagrange.

Estremanti relativi liberi. Teorema di Fermat.

INTEGRALE MULTIPLO. Insiemi normali. Definizione di integrale doppio di Riemann su insiemi normali. Proprietà dell'integrale doppio. I teoremi di riduzione su domini normali. Il teorema di cambiamento di variabili. Generalizzazione agli integrali tripli

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI. Curve regolari e regolari a tratti, lunghezza di una curva, integrale di una funzione su una curva. L'integrale di un campo vettoriale su una curva orientata. Campi vettoriali irrotazionali e conservativi: calcolo del potenziale. Teorema di Poincare su semplicemente connessi. Formule di Gauss-Green, Teorema della divergenza e del rotore.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy per equazioni differenziali. Teoremi di esistenza, unicità e prolungabilità. Metodi risolutivi per equazioni non-lineari a variabili separabili, per equazioni lineari del primo ordine a coefficienti variabili, per equazioni del secondo ordine (non-omogenee) a coefficienti costanti.

Testi/Bibliografia

Teoria:

Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Elementi di Analisi Matematica due. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea. Liguori Editore

Esercizi:

Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Esercitazioni di matematica Volume II, Parte prima e seconda. Liguori Editore

Metodi didattici

Il corso di Analisi Matematica B si svolge al secondo semestre e rappresenta la seconda parte del corso integrato di Analisi Matematica (12 cfu). Il corso di Analisi Matematica B  è strutturato in lezioni frontali in aula, in cui vengono presentati innanzitutto gli aspetti teorici degli argomenti trattati. In particolare, dopo aver introdotto le nozioni di base, vengono enunciati e dimostrati i principali teoremi e risultati nell’ambito del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili reali e le equazioni differenziali ordinarie. Successivamente ampio spazio viene dedicato alla risoluzione di esercizi.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell’apprendimento avviene attraverso una prova, alla quale si accede se si è superata la prova scritta di Analisi Matematica A in un appello dello stesso anno.

Tecnicamente la prova  di Analisi B è strutturata in due parti, una di esercizi e una di teoria, entrambe scritte, da superarsi in sequenza. La prova di esercizi si considera superata con una votazione di 15 o più; alla prova d teoria si potrà accedere solo dopo aver superato la prova di esercizi.

La parte di esercizi consiste in quesiti a risposta aperta che prevedono l'impostazione della risoluzione di esercizi. La seconda parte consiste in quesiti a risposta aperta che riguardano gli aspetti teorici della disciplina. Per superare la prova occorre ottenere un punteggio minimo di 18 punti.

Gli studenti potranno richiedere un orale integrativo.

 

Per partecipare alla prova è necessario iscriversi nelle liste disponibili sul sistema AlmaEsami [https://almaesami.unibo.it/] con almeno 2 giorni di anticipo.

 

Il voto relativo all’esame dell’intero corso integrato di Analisi Matematica viene calcolato come media aritmetica delle votazioni riportate nei due moduli di Analisi Matematica A e Analisi Matematica B. La prova scritta di Analisi A è valida 12 mesi. Nel caso di più voti per ciascun modulo, verrà considerato solo il voto più recente.

Subito dopo l'esame orale verrà chiesto allo studente se accetta il voto. E' facoltà dello studente verbalizzare il voto media o ripetere la prova.

Strumenti a supporto della didattica

Dispense del docente in virtuale [https://virtuale.unibo.it/]. Registrazioni delle lezioni. Esercizi del Tutor.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Matteo Franca