81657 - ANALISI MATEMATICA 3

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce strumenti avanzati e moderni di analisi matematica: spazi di Hilbert e di Banach ed operatori lineari tra essi, convergenza debole, spazi L^p, trasformato di Fourier in L^2, Teorema di Ascoli-Arzelà. Sa usare queste conoscenze per affrontare e risolvere problemi non elementari posti delle scienze applicate. Possiede abilità di apprendimento e un elevato grado di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni e ai programmi dei corsi di laurea di secondo livello.

Contenuti

Spazi di Hilbert e di Banach

• Definizione degli spazi di Banach e di Hilbert
• Base di uno spazio di Hilbert: ogni spazio di Hilbert separabile ha una base numerabile.
• Esempi ed esercizi

Spazi L^p

• Completezza dello spazio L^p, 1= < p < infty
• La convoluzione e i mollificatori
• Densità di C^\infty_0 in L^p,
• L^p è separabile
• lo spazio L^\infty
• teoremi di compattezza: richiami sul teorema di Ascoli Arzelà, e totale limitatezza in L^p
• Esempi ed esercizi

Operatori lineari fra spazi di Hilbert e di Banach

• Operatori lineari definizione di operatori compatti
• Teorema di rappresentazione di funzionali lineari in uno spazio di Hilbert.
  
• Il teorema di Hahn Banach
• Esempi ed esercizi

Convergenza debole in spazi di Hilbert e di Banach

• I teoremi di Baire e di uniforme limitatezza,
• La convergenza debole
• Esempi ed esercizi
  

La trasformata di Fourier 

• definizione e principali proprietà in L^1
• definizione in L^2
• Esempi ed esercizi

 

 

 

Testi/Bibliografia

Richard F. Bass, Real Analysis for Graduate Students Version 4.3, 2022 https://bass.math.uconn.edu/real.html

H. Brezis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York.

W. Rudin, Analisi reale e complessa, Boringhieri, Torino

Metodi didattici

Lezioni frontali, e assegnazione di esercizi suglia argomenti svolti in aula

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Assegnazioni di esercizi.

Esame orale e scritto.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Giovanna Citti