28616 - ANALISI MATEMATICA T-B

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscere gli aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali e alle equazioni differenziali, al fine di saper utilizzare tali conoscenze per interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria

Contenuti

Integrali generalizzati per funzioni di una variabile reale.

Definizione di integrale generalizzato.
Criterio di esistenza; criterio del confronto; criterio di convergenza assoluta.

Serie numeriche.
Definizione di serie numerica; serie geometriche. Condizioni necessarie per la convergenza.
Criterio di esistenza; criterio integrale; criterio del confronto; criterio di convergenza assoluta; criterio di Leibnitz; criterio del rapporto.

Limiti e continuità per funzioni di più variabili reali a valori reali e vettoriali.
Topologia di R^n. Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali: generalità, limiti e continuità.
I teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali a valori reali e vettoriali.
Derivate direzionali, derivate parziali e differenziabilità per funzioni di più variabili; matrice jacobiana, gradiente.
Regole di derivazione. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz, matrice Hessiana. Formule di Taylor fino al secondo ordine per funzioni di più variabili.
Estremanti globali e locali liberi per funzioni reali di più variabili: definizioni, condizioni necessarie, condizioni sufficienti. Natura dei punti critici.
Estremanti globali e locali vincolati per funzioni reali di più variabili: definizioni e metodi; varietà in R^n, Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali.
Integrale multiplo su rettangoli; Teorema di riduzione.
Integrale multiplo di Riemann in regioni limitate di R^2 e di R^3; proprietà dell'integrale.
Teorema di riduzione su regioni semplici. Diffeomorfismi, Teorema del cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Coordinate polari; coordinate cilindriche; coordinate sferiche.

Numeri complessi.
Il campo dei numeri complessi; forma algebrica e trigonometrica di un numero complesso. Interpretazione geometrica di somma e prodotto di numeri complessi. Esponenziale complesso. Radici n-sime di numeri complessi. Equazioni in C.

Equazioni differenziali ordinarie.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine, formula risolutiva.
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee di ordine superiore; soluzioni generali e soluzioni particolari; Teoremi di esistenza e di unicità per il problema di Cauchy; equazioni a coefficienti costanti, metodi risolutivi.
Equazioni a variabili separabili, equazioni speciali.

Applicazioni a modelli finanziari ed economici.

Testi/Bibliografia

Enrico Giusti, Analisi Matematica 2

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto con esercizi e domande di teoria.

Non sono ammessi testi e appunti.

Strumenti a supporto della didattica

pagina di Virtuale (ancora da aprire)

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simone Ciani