00674 - MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le conoscenze di base di analisi matematica, di algebra lineare e di geometria essenziali per descrivere quantitativamente sistemi e processi geologici e per affrontare gli altri corsi del triennio, soprattutto quelli del raggruppamento fisico. In particolare, lo studente è in grado di rappresentare funzioni in forma grafica, eseguire applicazioni del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili reali, risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine e a variabili separabili, eseguire operazioni con vettori e matrici, e sa risolvere sistemi di equazioni lineari e semplici problemi di geometria nel piano e nello spazio.

Contenuti

MODULO 1

Elementi di teoria degli insiemi, equazioni e disequazioni 

• La nozione di insieme. Operazioni di unione, intersezione e complemento. Prodotto cartesiano tra due o più insiemi. I numeri naturali, interi, razionali e reali.
• Potenze, logaritmi, operazioni algebriche e funzioni razionali.
• Richiami di trigonometria.
• Equazioni e disequazioni.
• Il valore assoluto.

Funzioni di una variabile reale.

• Dominio e condominio. Immagine e immagine inversa di un insieme tramite una funzione. Grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Composizione tra funzioni e funzione inversa.
• Funzioni polinomiali, razionali, potenze, esponenziali, periodiche, trigonometriche e loro grafici.
• Funzioni inverse: logaritmo, arcoseno, arcocoseno, arcotangente.
• Esempi concreti: scarica di un condensatore, crescita maltusiana, fenomeni vibratori, datazione del carbonio.
• Limiti di funzioni e continuità. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Operazioni algebriche sui limiti. Limiti notevoli.

Derivazione.

• Derivate e loro significato, regole di derivazione, formula di Taylor, teorema di de l'Hopital, studio del grafico di una funzione. Cenni di funzioni a più variabili. 
  

Integrali.

• Primitive, integrale definito (secondo Riemann) e sue proprietà, teorema del valor medio, teorema fondamentale del calcolo integrale, tecniche di integrazione (integrazione per parti e per sostituzione), integrazione di funzioni razionali. Applicazioni dell'integrale definito.
  

Equazioni differenziali.

• Equazioni differenziali lineari e problema di Cauchy. 
  

Elementi di geometria analitica

• Vettori nel piano e nello spazio: operazioni elementari, norma, proiezioni ortogonali. Formula delle distanza tra due punti nel piano e nello spazio.
• Angoli e trigonometria, prodotto scalare e vettoriale. Area del parallelogramma, volume del parallelepipedo. Lavoro di una forza, velocità.
  
• Rette e piani nel piano e nello spazio. Coefficiente angolare. Equazioni parametriche e cartesiane. Distanza punto retta.
  

Matrici e trasformazioni lineari

• Introduzioni alle applicazioni lineari: omotetie, simmetrie, riflessioni, rotazioni.
• Matrici e applicazioni lineari.
  
• Matrici: somma e prodotto righe per colonne di matrici.
• Matrici quadrate: matrici invertibili, definizione di determinante di una matrice quadrata. Tecniche di calcolo: Sarrus, Laplace. Teorema di Binet.
• Operazioni elementari sulle righe. Matrici elementari. Metodo di riduzione a gradini di Gauss. Rango di una matrice. Applicazioni per calcolare: la matrice inversa, il determinate, il numero di vettori indipendenti in una famiglia di vettori.

Sistemi lineari.

• Sistemi compatibili e incompatibili. Il teorema di Rouché-Capelli. Tecniche risolutive. Il metodo di riduzione di Gauss per risolvere sistemi lineari e per calcolare determinanti.
  

MODULO 2 - STATISTICA APPLICATA

• Introduzione alla statistica descrittiva.
• Indici di tendenza centrale (media aritmetica, media geometrica, media armonica, media ponderata, mediana, moda); quantili.
• Indici di scostamento (devianza, varianza, deviazione standard); il concetto di distribuzione statistica dei dati; la distribuzione normale; la distribuzione normale standard ed il test Z.
• Regressione lineare e correlazione.
• I test di ipotesi.
  

Testi/Bibliografia

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE
Autori: Piero D’Ancona, Marco Manetti.

Disponibile gratuitamente online: https://www1.mat.uniroma1.it/people/manetti/dispense/dispense.html

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Metodi didattici

Lezioni frontali in presenza: ogni settimana 6 ore di teoria e 2 ore di esercitazioni. Ogni settimana viene fornita una lista di esercizi su cui esercitarsi: gli esercizi saranno poi svolti e corretti dal tutor ilvenerdì mattina.  

Dei quiz saranno proposti e corretti il giovedì pomeriggio durante delle ore di tutoraggio che si possono seguire su base volontaria.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame è costituita da un prova scritta e da una prova orale. Per partecipare a ciascuna prova è obbligatoria l'iscrizione al relativo appello sul sito AlmaEsami.

La prova scritta prevede la risoluzione di esercizi e mira a valutare la capacità di saper applicare gli strumenti teorici forniti nel corso. Il risultato viene inserito sul sito AlmaEsami ed ha validità per l'intero a.a. 2024/25.

La prova orale verte a verificare la conoscenza teorica della materia.

Le modalità precise verrano spiegate dal docente a inizio corso e saranno dettagliate su Virtuale.  

Le date degli appelli di esame saranno disponibili sul sito AlmaEsami con ampio anticipo.

Strumenti a supporto della didattica

Alle persone aventi delle carenze di preparazione o delle difficoltà in Matematica è vivamente consigliato di frequentare le lezioni supplementari svolte dal Tutor ogni giovedi pomeriggio. Durante queste lezioni verranno svolti degli esercizi specifici e richiamate parti di base del programma. 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Riccardo Biagioli