09346 - TEORIA DEI GRUPPI

Conoscenze e abilità da conseguire

Alla fine del corso, lo studente conosce i gruppi di Coxeter, i gruppi risolubili e gruppi nilpotenti, i gruppi liberi o altre classi notevoli di gruppi. È in grado di affrontare problemi al confine tra algebra e combinatoria e di calcolare invarianti quali ad esempio i polinomi di Kazhdan-Lusztig.

Contenuti

I gruppi di Coxeter appaiono in vari settori della matematica, per esempio come gruppi di simmetria di politopi regolari, come gruppi di Weyl di algebre di Lie semi-semplici, nello studio delle algebre Cluster e di Kac-Moody e come gruppi di riflessioni in geometria euclidea e iperbolica.

In questo corso, introdurremo i gruppi di Coxeter enfatizzando i loro aspetti combinatori.

Programma

Gruppi di riflessione e gruppi di Coxeter: espressioni ridotte, proprietà di scambio, caratterizzazione.

Ordine di Bruhat, sottogruppi parabolici e quozienti, struttura degli intervalli.

Ordine di Bruhat debole.

Classificazione dei gruppi di Coxeter finiti e affini.

Algebre di Hecke e polinomi di Kazdhan-Lusztig.

Cellule di Kazdhan-Lusztig.

Enumerazione e caratterizzazioni combinatorie di alcuni gruppi di Coxeter di tipo finito e affine.

Informazioni complementari 

Il corso non ha bisogno di prerequisiti particolari. Le nozioni elementari di teoria dei gruppi e di algebra lineare apprese nei corsi di Algebra 1 e Geometria 1 saranno sufficienti.

Il programma del corso è collegato ma complementare a quello dei corsi Representation Theory (96759) e Combinatoria Algebrica (96730).

I corsi Combinatoria Algebrica e Teoria dei Gruppi vengono attivati ad anni alterni, mentre Representation Theory tutti gli anni. L' ordine nel quale questi corsi vengono seguiti (anno prima, dopo o in contemporanea) non è importante.

Testi/Bibliografia

Anders Björner, Francesco Brenti. Combinatorics of Coxeter groups, volume 231 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2005.

J. E. Humphreys. Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

Metodi didattici

Ogni settimana 4 ore di lezioni frontali.

Durante le lezioni saranno distribuiti fogli di esercizi da svolgere a casa.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Ogni partecipante dovrà consegnare alla fine del semestre al docente le correzioni di alcuni degli esercizi proposti durante il corso, che saranno valutate.

In più, la votazione terrà conto della presentazione di un articolo di ricerca su un argomento avanzato legato alle tematiche del corso ma non sviluppato nel corso stesso, e di un esame orale finale.

 

Strumenti a supporto della didattica

 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Riccardo Biagioli