54777 - GEOMETRIA PROIETTIVA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente conosce i principali elementi della teoria degli spazi proiettivi. Sa comprendere la geometria affine come aspetto locale della geometria proiettiva e viceversa, la geometria proiettiva come sintesi dei fenomeni affini. Conosce gli elementi di base della teoria delle curve algebriche piane.

Contenuti

Cenni sulla prospettiva.

Il "piano allargato" come piano a cui si aggiungono le direzioni delle rette. Spazi proiettivi: definizione, dimensione. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee rispetto a un riferimento; Il riferimento proiettivo standard su Pn(K). Sottospazi proiettivi: definizione, codimensione, equazioni cartesiane. Il sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme dello spazio, intersezione e somma di sottospazi proiettivi. Punti linearmente indipendenti e punti in posizione generale. Equazioni parametriche per un sottospazio proiettivo. Sottospazi proiettivi incidenti e sghembi. Formula di Grassmann proiettiva. Sottospazi proiettivi in posizione generale.

Morfismi e isomorfismi proiettivi, proiettività. Proiezione di centro un punto su un iperpiano. Il gruppo delle proiettività PGL(V); PGL(V) come gruppo quoziente. Caratterizzazione delle (n+2)-pla di punti in posizione generale. Equazioni di un morfismo proiettivo. Equazioni di cambiamento di coodinate omogenee. Birapporto di 4 punti su una retta proiettiva.

Completamento di uno spazio affine ad uno spazio proiettivo, carte affini.

Modelli geometrici per P^n(R), la sfera di Riemann come modello per P^1(C).

La dualità proiettiva; esempi di proposizioni duali, esempi di proposizioni autoduali.

Chiusura proiettiva di una retta del piano affine, il punto che si aggiunge è la classe di un vettore di direzione della retta.

In uno spazio proiettivo ha senso solo considerare gli zeri di polinomi omogenei. Generalità sui polinomi omogenei. Omogeneizzazione e deomogeneizzazione di polinomi in più variabili.

Ipersuperfici algebriche proiettive, affini, euclidee; in particolare, curve algebriche piane, superfici algebriche dello spazio 3-dimensionale; grado, supporto.

Cosa vuol dire classificare una curva algebrica piana, e più in generale una ipersuperficie, dal punto di vista affine, euclideo, proiettivo. Il grado come invariante.

Richiami su forme bilineari simmetriche su un K-spazio vettoriale V finitamente generato. Iperquadriche proiettive, matrici associate, matrici di una iperquadrica proiettivamente equivalente, rango di una iperquadrica, segnatura di una iperquadrica reale come invarianti proiettivi. Classificazione proiettiva delle iperquadriche reali e complesse.

Descrizione geometrica delle forme canoniche delle coniche e delle quadriche proiettive reali e complesse.

Un polinomio omogeneo di grado d in due variabili su un campo algebricamente chiuso si annulla su d punti della retta proiettiva contati con molteplicità.

La cubica irriducibile con un nodo: y^2=x^2+x^3 e la cubica irriducibile con una cuspide: y^2=x^3 sono curve razionali. Una cubica piana irriducibile singolare è proiettivamente equivalente alla cuspide o al nodo. Ogni cubica liscia di P^2 è proiettivamente equivalente a una cubica di equazione: y^2=x(x-1)(x-a) con a diverso da 0 e da 1. I possibili valori del birapporto di 4 punti distinti di una retta proiettiva e la funzione j. Il teorema di Salmon e il modulo di una cubica piana liscia; la classificazione delle cubiche liscie del piano proiettivo complesso. La legge di gruppo su una cubica piana liscia, solo cenni per l'associatività. I tori complessi. Cenni sulle cubiche piane liscie come superfici di Riemann: una cubica piana liscia è biolomorfa al toro complesso di opportuno reticolo e tale biolomorfia è anche un isomorfismo di gruppi additivi.

Testi/Bibliografia

E.Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri, Torino 1989

M.Reid: "Undergraduate Algebraic Geometry", Cambridge University Press 1988

Metodi didattici

Lezioni frontali con esercitazioni. Quanto del corso si svolgerà on-line dipenderà dalle condizioni rispetto all'emergenza covid nel secondo semestre.

 

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- esporre con coerenza alcuni argomenti del corso, dando prova di aver compreso a fondo i concetti fondamentali e i meccanismi di deduzione;

- risolvere esercizi inerenti gli argomenti svolti.

L'esame consiste di un colloquio orale. Verranno fissati degli appelli (iscrizione su AlmaEsami) ma, compatibilmente con il numero dei frequentanti e gli altri impegni didattici dei docenti, in genere sarà possibile fissare anche date di esame personalizzate su appuntamento.

Strumenti a supporto della didattica

Verranno messi in rete fogli di esercizi, che si aggiungeranno a quelli reperibili nei testi consigliati.

Inoltre su [http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaProiettiva si possono trovare alcuni argomenti del corso e relativi esercizi interattivi.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Alessandro Gimigliano

Consulta il sito web di Monica Idà