00674 - MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente ha compreso ed è in grado di utilizzare gli strumenti elementari dell'analisi matematica delle funzioni di una variabile reale; possiede le conoscenze di base della teoria delle matrici e dell'algebra lineare. In particolare, lo studente è in grado di: - calcolare limiti, derivate e polinomi di Taylor di una funzione - studiare il grafico di una funzione - calcolare integrali e integrali generalizzati di una funzione - risolvere sistemi lineari operando con vettori e matrici - riconoscere insiemi linearmente indipendenti e sottospazi - calcolare prodotti interni, norme, proiezioni ortogonali - diagonalizzare matrici quadrate.

Contenuti

Il corso verrà svolto congiuntamente dai docenti Francesco Regonati e Luca Vincenzo Ballestra. Di seguito vengono riportati i contenuti del corso, con indicazione del relativo docente.

1. Concetti di base sugli insiemi. Un po' di logica elementare. Sommatorie e coefficienti binomiali. Campi ordinati. Numeri reali; estremo superiore e assioma di continuità; valore assoluto; intervalli. Radicali, potenze, logaritmi. Insiemi infiniti. Il principio di induzione. (Regonati)
2. Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale; funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Funzioni elementari; funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche; operazioni sui grafici. Funzioni composte e inverse; le funzioni trigonometriche inverse. (Regonati)
3. Successioni; definizione di limite; successioni monotone; il calcolo e dei limiti; il numero "e". Serie numeriche; definizione e primi esempi; serie a termini non negativi. Limiti di funzioni. Il calcolo dei limiti; proprietà fondamentali dei limiti; limiti notevoli; confronti e stime asintotiche. (Regonati) Continuità, asintoti. Funzioni continue su un insieme compatto e su un intervallo. (Ballestra)
4. Derivata e retta tangente. Derivate di funzioni elementari. Punti angolosi, tangenti verticali. Algebra delle derivate. Derivata di una funzione composta. Massimi e minimi. Punti stazionari. Teorema del valor medio. Test di monotonia. Il teorema di de l'Hopital. Derivata seconda, concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Differenziale e approssimazione lineare. Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano. (Ballestra)
5. L'integrale come limite di somme; classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali indefiniti e definiti; integrali immediati; integrazione delle funzioni razionali; integrazione per parti; integrazione di funzioni discontinue. Integrali generalizzati di funzioni non limitate o definite su intervalli illimitati; criteri di integrabilità. Funzioni integrali. (Regonati)
6. Vettori nel piano e nello spazio; operazioni fondamentali sui vettori; prodotto scalare. Rette e piani nello spazio. Lo spazio vettoriale R^n; spazi vettoriali astratti; sottospazi vettoriali, indipendenza lineare, basi e dimensione. Prodotto scalare in R^n; spazi vettoriali con prodotto scalare; norma, ortogonalità, basi ortonormali, proiezioni ortogonali su sottospazi. Il concetto di linearità. Matrici e trasformazioni lineari; l'algebra delle matrici; rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari; determinante; caratteristica di una matrice; matrice inversa. Sistemi lineari; metodo di Cramer; immagine e nucleo di una trasformazione lineare da R^m ad R^n; teorema di Rouchè-Capelli; metodo di eliminazione di Gauss. Matrici diagonalizzabili; autovalori e autovettori di una matrice; condizioni di diagonalizzabilità. (Regonati)

Testi/Bibliografia

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare. Ed. Zanichelli, Bologna, 2014

Metodi didattici

Trattandosi di un corso tradizionale di matematica, le lezioni verranno impartite seguendo un metodo classico, ovvero mediante spiegazione alla lavagna.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica delle conoscenze e delle abilità da conseguire avviene attraverso un esame scritto ed una prova orale.

L'esame scritto, della durata di due ore, consiste nello svolgimento di alcuni esercizi. Nella prova scritta non è consentito utilizzare libri o appunti. E' invece permesso l'uso di una calcolatrice tascabile non programmabile.

Scopo della prova orale è la verifica della comprensione della teoria.

Il voto finale è stabilito in base alla media tra il voto riportato nella prova scritta e il giudizio riportato nella prova orale.

Strumenti a supporto della didattica

Le lezioni alternano concetti teorici a esempi ed esercizi. Durante lo svolgimento del corso verrà reso disponibile del materiale didattico realizzato dai docenti ad integrazione/completamento dei libri di testo.

Infine, il corso verrà preceduto da un crash-course, volto a colmare eventuali lacune e a fornire agli studenti le necessarie conoscenze della matematica di base. Tutti gli studenti sono fortemente incoraggiati a seguire anche il crash-course.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Francesco Regonati

Consulta il sito web di Luca Vincenzo Ballestra