31250 - FISICA DELLO STATO SOLIDO 1

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le nozioni indispensabili alla comprensione delle proprietà fisiche della materia condensata. Conosce i modelli fenomenologici relativi alle proprietà strutturali, meccaniche e termiche.

Contenuti

1.      Struttura Atomica

1.1.   Introduzione alla simmetria

1.1.1.      Introduzione alla simmetria in cristallografia . Simmetrie. Trasformazioni isometriche. Congruenza diretta e opposta. Operazioni di simmetria: traslazione, rotazione, rototraslazione, inversione, riflessione, rotoriflessione, riflessotraslazione. Esempi grafici. Descrizione matriciale.
• Giacovazzo: 1.1, 1.2, 1.A
• Presentazione “Introduction to Symmetry in Condensed-Matter” depositata su campus.unibo.it.

1.1.2.      Elementi di teoria dei gruppi per la cristallografia . Definizione di gruppo (quattro assiomi). Gruppi Abeliani o commutativi. Ordine di un gruppo. Tavole di moltiplicazione. Gruppi ciclici. Sottogruppi. Elementi coniugati. Classi. Simmetria molecolare, elementi di simmetria ed atomi equivalenti. I gruppi puntuali, esempi: BF3, poliedri regolari, Td e Oh. Gruppi puntuali cristallografici, loro nomenclatura (cenno). Classi di operazioni di simmetria molecolare; esempio C4v. Rappresentazione dei gruppi. Rappresentazione mediante matrici, esempio Td. Rappresentazioni riducibili ed irriducibili. Il Grande Teorema di Ortogonalità (senza dimostrazione) e le sue conseguenze. Proprietà delle rappresentazioni irriducibili, esempi C2V e C3V. Tavole dei caratteri. Funzioni base; esempio: tavola dei caratteri e funzioni base per il gruppo C3v. Le funzioni d'onda soluzioni dell'equazione di Schrödinger come funzioni base per le rappresentazioni irriducibili; caso non degenere e caso degenere. Applicazione: separazione (splitting) dei livelli atomici d in campo cristallino ottaedrico.
• Cotton: 1, 2, 3, 4, 5.1, 9.1, 9.2, 9.3
• Presentazione “Elements of Group Theory in Condensed Matter Physics” depositata su campus.unibo.it.

1.2.   Strutture cristalline in 2D.

Reticoli di Bravais in 2 dimensioni. Reticoli infiniti e cristalli finiti. Vettori primitivi. I cinque reticoli di Bravais in 2D. Strutture cristalline: reticoli con base. Esempio: il grafene. Riduzione di simmetria e simmetria puntuale della base. Celle unitarie: primitive, convenzionali e di Wigner e Seitz. Gruppo spaziale. Dimostrazione dell'incompatibilità di un asse di rotazione di ordine 5 con la simmetria a lungo raggio. Gruppi simmorfi e non simmorfi. I 17 gruppi spaziali in 2D (gruppi planari). Esempi.

• Marder 1.2, 1.3
• Presentazione “2D crystals” depositata su campus.unibo.it.

 

1.3.   Strutture cristalline in 3D

Strutture cristalline in 3 dimensioni. Reticoli monoatomici. Numero di coordinazione. Reticoli FCC, BCC: celle convenzionali, primitive e di Wigner e Seitz. Reticolo esagonale, struttura HCP. Impilamento di sfere. Struttura del diamante, NaCl, CaF2, zincoblenda, wurtzite, perovskite. I 14 reticoli di Bravais e i 7 sistemi cristallini. Cenno agli stereogrammi, ai 32 gruppi puntuali cristallografici e ai 230 gruppi spaziali. Cenno alla relazione tra struttura atomica e proprietà fisiche; piroelettricità, piezoelettricità, attività ottica.

• Marder 2;  Ashcroft & Mermin 4 e 7.
• Presentazione “3D crystals” depositata su campus.unibo.it.

1.4.   Determinazione della struttura dei cristalli mediante diffusione di onde e particelle

Introduzione. Raggi X, elettroni e neutroni.
Approssimazione di atomi immobili, di diffusione elastica e di diffusione singola. Diffusione da parte di un atomo nell'origine ed in posizione arbitraria. Diffusione da parte di un insieme di atomi. Atomi su reticolo, somme reticolari. Condizioni di Laue.

Reticolo reciproco. Piani reticolari e indici di Miller. Cenno alla spaziatura dei piani. Direzioni reticolari. Relazione tra piani reticolari e vettori del reticolo reciproco.

Diffrazione da un reticolo con base, fattore di struttura geometrico. La sfera di Ewald. Cenno alle diverse geometrie di diffrazione, alla relazione lunghezza d'onda - energia per raggi X, neutroni e elettroni e alle sorgenti.

• Marder 3.2, 3.3 e 3.4 (parte)
• Presentazione “Scattering” depositata su campus.unibo.it.

2.      Struttura Elettronica

2.1.   Modello di Drude.

Separazione in ioni e elettroni liberi. Densità elettroniche e raggio elettronico. Approssimazioni di elettroni indipendenti e liberi, approssimazione di tempo di rilassamento. Equilibrio termico. Conducibilità in corrente continua. Tempi di rilassamento e cammino libero medio. Equazione del moto nell'ambito dell'approsimazione del tempo di rilassamento. Effetto Hall: fenomenologia. Calcolo della magnetoresistenza e del coefficiente Hall. Confronto con i dati sperimentali. Discussione. Conducibilità elettrica in AC. Funzione dielettrica. Limite ad alta frequenza, frequenza di plasma; cenno ai plasmoni. Legge di Wiedeman Franz, modello 1D e sua estensione. Effetto Seebeck e effetto Peltier.
• Ashcroft & Mermin 1
• Presentazione “Drude” depositata su campus.unibo.it.

 

2.2.   Il gas di elettroni liberi

2.2.1.      Hamiltoniana di base per la materia condensata . Discussione di varie approssimazioni di uso comune in fisica della materia condensata. Gas di elettroni liberi: giustificazione dell'approssimazione di reticolo statico e di elettroni indipendenti
• Marder: 6.1

2.2.2.      Gas di elettroni liberi . Hamiltoniana e soluzione in termini di funzioni di singolo elettrone ad onda piana. Condizioni al contorno di Born - von Karman. Lo stato fondamentale. Sfera di Fermi. Energia, vettore d'onda, velocità e temperatura di Fermi; stime numeriche. Il modulo di compressione e confronto con l'esperimento. La distribuzione di Fermi - Dirac. Calore specifico del gas di elettroni liberi. Densità degli stati in funzione dell'energia. Dimostrazione dell'espansione di Sommerfeld. Dipendenza dalla temperatura del potenziale chimico. Espressione per il calore specifico; derivazione qualitativa, discussione. Confronto con l'esperimento.
• Ashcroft & Mermin 2, Marder: da 6.2 a 6.5

• Presentazione “Fermi gas” depositata su campus.unibo.it.

2.3.   Limitazioni del modello ad elettroni liberi

Punti problematici: coefficiente Hall, magnetoresitenza, campo termoelettrico, legge di Wiedemann – Franz, dipendenza dalla temperatura e dalla direzione della conducibilità elettrica in corrente continua, dipendenza dalla frequenza dalla conducibilità elettrica in corrente alternata. Discussione delle approssimazioni: elettroni liberi, elettroni indipendenti, tempo di rilassamento.

• Ashcroft & Mermin 3
• Presentazione “Free electron model limitations” depositata su campus.unibo.it.

 

2.4.    Elettroni non interagenti in un potenziale periodico

2.4.1.      Conseguenze della simmetria traslazionale . Proprietà generali degli stati elettronici in un potenziale periodico. Idealizzazione del concetto di periodicità perfetta, esistenza ed importanza dei difetti ed impurezze. Il teorema di Bloch. Dimostrazione in termini di operatori di traslazione. Condizioni periodiche di Born - von Karman e vettori d'onda di Bloch. Dimostrazione del teorema di Bloch tramite espansione in onde piane della funzione d'onda elettronica e del potenziale. Equazione di Schrödinger nello spazio reciproco. Indice di banda e quantità di moto cristallina. Bande di energia; rappresentazione nella prima zona di Brillouin, rappresentazione estesa, ridotta e ripetuta. Cenno alla apertura della gap. Lo stato fondamentale, differenza tra metalli e isolanti/semiconduttori. La densità degli stati, relazione con la struttura a bande e singolarità di van Hove. Dimostrazione della espressione per la velocità degli elettroni di Bloch.
• Ashcroft & Mermin 8; Marder 7.1 e 7.2
• Presentazione “Independent electrons in Periodic Potential” depositata su campus.unibo.it.

 

2.4.2.      Elettroni quasi liberi . Elettroni indipendenti in un potenziale periodico debole. Caso del potenziale nullo, non - degenere e degenere. Potenziale debole: caso non - degenere. Potenziale debole: caso quasi degenere. Degenerazione ad un singolo piano di Bragg. Interpretazione geometrica in termini di piani di Bragg. Perpendicolarità delle superficie isoenergetiche ad i piani di Bragg. Rappresentazione delle bande in 1 dimensione nei diversi schemi. Rappresentazione delle bande in 3 dimensioni: caso del FCC per elettroni liberi. Costruzione delle superfici di Fermi. Zone di Brillouin di ordine superiore. La superficie di Fermi del rame. Superficie di Fermi per un metallo a valenza 4. Effetto di una base atomica. Analogia con la diffrazione di raggi X e onde.
• Ashcroft & Mermin 9; Marder da 8.1 a 8.3
• Presentazione “Electrons in Weak Periodic Potential” depositata su campus.unibo.it.

2.4.3.      Tight binding . Introduzione e impostazione dell'approccio. Il limite atomico, funzioni di Bloch costruite sulla base di orbitali atomici. Funzioni di Wannier. Combinazioni lineari di orbitali atomici quasi degeneri. Equazione agli autovalori. Il caso di una banda s. Integrali di sovrapposizione. Banda s nella struttura FCC. Discussione della relazione tra larghezza di banda e integrali di sovrapposizione. Funzioni di Wannier. Dimostrazione della ortogonalità delle funzioni di Wannier centrate su siti diversi.
• Ashcroft & Mermin 10; Marder 8.4
• Presentazione “Tight binding” depositata su campus.unibo.it.

2.5.   Complementi sulla struttura elettronica

2.5.1.      Panoramica della struttura a bande in casi modello . Metalli, semiconduttori ed isolanti. Metalli ad elettroni quasi liberi (alluminio), gas nobili (krypton), semiconduttori (grafene, silicio, germanio, arseniuro di gallio), metalli di transizione (vanadio).
• Marder 10.3 e 10.4

2.5.2.      Rapido cenno alle proprietà ottiche . Hamiltoniana di interazione. Transizioni interbanda, conservazione della quantità di moto, transizioni "verticali", densità congiunta degli stati.
• Grosso & Pastori Parravicini 12.1 e 12.2

2.5.3.      Fotoemissione . Funzione lavoro. Stati iniziali e finali in approssimazione di elettroni indipendenti e di fotoelettrone libero. Fotoemissione integrata in angolo, determinazione della densità degli stati. Fotoemissione risolta in angolo, determinazione della struttura a banda; esempio: la grafite.
• Marder 23.6.1 e 23.6.2; Yu & Cardona 8.1 (molto, troppo, dettagliato).

2.5.4.      Rapido cenno alla dinamica degli elettroni di Bloch . Modello semiclassico per il moto di pacchetti d'onda di elettroni di Bloch in un campo EM. Oscillazioni di Bloch. Caso delle bande piene. Lacune.
• Ashcroft & Mermin 12

• Presentazione “Band structure, optics, photoemission, transport” depositata su campus.unibo.it.

3.       Coesione, vibrazioni reticolari e fononi

3.1.   Classificazione e coesione dei solidi

Classificazione dei solidi: molecolari, ionici, covalenti, metallici e a legame idrogeno. Energie di coesione. Raggi atomici. Gas nobili e potenziale di Lennard Jones. Cristalli ionici, somme di Ewald e costante di Madelung. Coesione nei solidi covalenti e nei metalli. Cenno al legame idrogeno.
• Marder 11; Ashcroft & Mermin 20
• Presentazione “Classification and cohesion in solids” depositata su campus.unibo.it.

3.2.   Limitazioni del modello a reticolo statico .

Proprietà di equilibrio: calore specifico, espansione termica. Proprietà di trasporto: dipendenza dalla temperatura del tempo di rilassamento elettronico, inadeguatezza della legge di Wiedemann – Franz, superconduttività. Interazione con la radiazione: riflettività dei cristalli ionici, diffusione anelastica della luce visibile, dei raggi X e dei neutroni.
• Ashcroft & Mermin 21
• Presentazione “Static Lattice Failiures” depositata su campus.unibo.it.

3.3.   Approssimazione adiabatica.

Separazione dell'equazione di Schrödinger totale in due equazioni a descrizione degli stati elettronici e del moto nucleare; ruolo dell'energia elettronica come energia potenziale per il moto nucleare. Approssimazione armonica.
• Grosso & Pastori Parravicini 8.1
• Presentazione “Lattice Vibrations and phonons” depositata su campus.unibo.it.

3.4.   Vibrazioni reticolari in approssimazione armonica: limite classico.

Catena atomica unidimensionale, relazioni di dispersione Catena atomica con base, ramo acustico e ramo ottico. Vibrazioni reticolari in 3D nell'approssimazione armonica per un reticolo di Bravais. Sviluppo quadratico dell'energia. Condizioni periodiche al contorno per il vettore d'onda. Proprietà della matrice F . Equazione del moto e matrice dinamica; autovalori e auto vettori. Esempio: relazioni di dispersione del Pb. Vibrazioni armoniche in un reticolo con base. Rami acustici e ottici. Ordine di grandezza delle frequenze dei modi vibrazionali e corrispondenza con l'intervallo spettrale dell'infrarosso.
• Marder 13; Ashcroft & Mermin 22
• Presentazione “Lattice Vibrations and phonons” depositata su campus.unibo.it.

3.5.   Vibrazioni reticolari in approssimazione armonica: descrizione quantistica.

Richiami sull'oscillatore armonico quantistico in 1D. Espressione della Hamiltoniana per il cristallo armonico in termini degli operatori di creazione e distruzione. Fononi. Statistica di Bose - Einstein. Densità degli stati. Il calore specifico del reticolo. Limite di alta temperatura e legge di Dulong e Petit. Limite di bassa temperatura, andamento T3. Modelli di Einstein e di Debye.
• Marder 13.3; Ashcroft & Mermin 23
• Presentazione “Lattice Vibrations and phonons” depositata su campus.unibo.it.

3.6.   Diffusione anelastica di neutroni.

Caratteristiche dei neutroni termici: energia e numero d'onda. Conservazione dell'energia e della quantità di moto nella diffusione dei neutroni da parte di un cristallo. Il potenziale di interazione. Cenno alla sezione d'urto e al fattore di struttura dinamico.
• Marder 13.4; Ashcroft & Mermin 24
• Presentazione “Inelastic phonon scattering” depositata su campus.unibo.it.

Testi/Bibliografia

Michael P. Marder, Condensed Matter Physics, Second Edition, Wiley (2010)

Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics, Saunders College Publishing (1976)

Metodi didattici

Lezioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame orale

Strumenti a supporto della didattica

Presentazioni powerpoint

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Federico Boscherini